giải giúp mình

Câu 4: Tập hợp \( X = \{2; 5\} \) bao gồm hai phần tử là 2 và 5. Do đó, tập hợp \( X \) có 2 phần tử. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 5: Để tìm các phân tử của tập hợp \( B = \{ x \in \mathbb{N} \mid (2x^2 - x)(x^2 - 3x - 4) = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \((2x^2 - x)(x^2 - 3x - 4) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ 2x^2 - x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 3x - 4 = 0. \] Giải phương trình \( 2x^2 - x = 0 \): \[ x(2x - 1) = 0. \] Từ đây, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 1 = 0. \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2}. \] Giải phương trình \( x^2 - 3x - 4 = 0 \): \[ x^2 - 3x - 4 = 0. \] Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: \[ (x - 4)(x + 1) = 0. \] Từ đây, ta có: \[ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -1. \] Vì \( x \in \mathbb{N} \) (tập hợp các số tự nhiên), nên các giá trị \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = -1 \) không thuộc tập hợp \( B \). Do đó, các phân tử của tập hợp \( B \) là: \[ B = \{ 0, 4 \}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~B = \{ 0; 4 \}. \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta cần giải phương trình bậc hai \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) và tìm các nghiệm thực của nó. Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình bậc hai: \[ a = 2, \quad b = -5, \quad c = 3 \] Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 \] \[ \Delta = 25 - 24 \] \[ \Delta = 1 \] Bước 3: Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] Bước 4: Thay các giá trị vào công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \] Bước 5: Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Vậy tập hợp các nghiệm của phương trình là: \[ X = \left\{1, \frac{3}{2}\right\} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~X = \left\{1; \frac{3}{2}\right\} \] Câu 7: Một tập hợp có thể có nhiều cách khác nhau để biểu diễn hoặc liệt kê các phần tử của nó, nhưng câu hỏi này yêu cầu chúng ta xác định số cách để "cho" một tập hợp, tức là số cách để xác định một tập hợp cụ thể. Trong toán học, có ba cách chính để cho một tập hợp: 1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. 2. Mô tả tính chất chung của các phần tử trong tập hợp. 3. Biểu diễn bằng ký hiệu hoặc tên gọi đã biết. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của câu hỏi này, chúng ta chỉ cần xem xét ba cách chính nêu trên. Do đó, có ba cách để cho một tập hợp. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 8: Ta sẽ kiểm tra từng tập hợp để xác định tập hợp nào là tập hợp rỗng. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid |x| < 1\} \): - Điều kiện \( |x| < 1 \) có nghĩa là \( -1 < x < 1 \). - Vì \( x \in \mathbb{N} \) (số tự nhiên), nên \( x \) chỉ có thể là 0. - Tuy nhiên, số tự nhiên \( \mathbb{N} \) thường bắt đầu từ 1, do đó không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện này. - Vậy tập hợp \( A \) là tập hợp rỗng. B. Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 6x^2 - 7x + 1 = 0\} \): - Giải phương trình \( 6x^2 - 7x + 1 = 0 \): \[ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 5}{12} \] \[ x_1 = \frac{12}{12} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] - Các nghiệm \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = \frac{1}{6} \) đều thuộc \( \mathbb{Z} \) (số nguyên). - Vậy tập hợp \( B \) không phải là tập hợp rỗng. C. Tập hợp \( C = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 4x + 2 = 0\} \): - Giải phương trình \( x^2 - 4x + 2 = 0 \): \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] - Các nghiệm \( x_1 = 2 + \sqrt{2} \) và \( x_2 = 2 - \sqrt{2} \) không thuộc \( \mathbb{Q} \) (số hữu tỉ). - Vậy tập hợp \( C \) là tập hợp rỗng. D. Tập hợp \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 = 0\} \): - Giải phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \): \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] - Các nghiệm \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = 1 \) đều thuộc \( \mathbb{R} \) (số thực). - Vậy tập hợp \( D \) không phải là tập hợp rỗng. Kết luận: Tập hợp rỗng là tập hợp \( A \) và \( C \). Câu 9: Để viết lại các tập hợp $A$ và $B$ bằng cách liệt kê các phần tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các phần tử của tập hợp $A$: - Tập hợp $A$ được xác định bởi phương trình $(2x^2 - x - 3)(x^2 - 4) = 0$. - Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. Xét phương trình $2x^2 - x - 3 = 0$: - Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Xét phương trình $x^2 - 4 = 0$: - Đây là phương trình bậc hai đơn giản: \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Kết hợp các nghiệm từ cả hai phương trình, ta có: \[ A = \left\{-2, -1, 2, \frac{3}{2}\right\} \] 2. Tìm các phần tử của tập hợp $B$: - Tập hợp $B$ được xác định bởi các số tự nhiên nhỏ hơn 4. - Các số tự nhiên nhỏ hơn 4 là: 0, 1, 2, 3. Do đó: \[ B = \{0, 1, 2, 3\} \] Kết luận: \[ A = \left\{-2, -1, 2, \frac{3}{2}\right\}, \quad B = \{0, 1, 2, 3\} \] Đáp án đúng là: \[ A.~A = \left\{-2, -1, 2, \frac{3}{2}\right\},~B = \{0, 1, 2, 3\} \] Câu 10: Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{ x \in \mathbb{R} / (x-1)(x+2)(x^3 - 4x) = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \((x-1)(x+2)(x^3 - 4x) = 0\). Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong các nhân tử bằng 0. Do đó, chúng ta cần giải các phương trình sau: 1. \( x - 1 = 0 \) 2. \( x + 2 = 0 \) 3. \( x^3 - 4x = 0 \) Bây giờ, chúng ta sẽ giải từng phương trình một: 1. \( x - 1 = 0 \) \[ x = 1 \] 2. \( x + 2 = 0 \) \[ x = -2 \] 3. \( x^3 - 4x = 0 \) Ta có thể phân tích đa thức này thành: \[ x(x^2 - 4) = 0 \] Tiếp tục phân tích: \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Từ đây, ta có ba nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] Vậy, các nghiệm của phương trình \((x-1)(x+2)(x^3 - 4x) = 0\) là: \[ x = 1, \quad x = -2, \quad x = 0, \quad x = 2 \] Do đó, tập hợp \( A \) có các phần tử là \( \{ -2, 0, 1, 2 \} \). Số phần tử của tập hợp \( A \) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên \( x \) sao cho phương trình \((2x^2 + 5x + 2)(x^2 - 16) = 0\) thỏa mãn. Phương trình \((2x^2 + 5x + 2)(x^2 - 16) = 0\) sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. 1. Giải phương trình \(2x^2 + 5x + 2 = 0\): Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 2\), \(b = 5\), và \(c = 2\), ta có: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} \] Từ đây, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] 2. Giải phương trình \(x^2 - 16 = 0\): \[ x^2 = 16 \] \[ x = \pm 4 \] Tập hợp \(A\) bao gồm các giá trị nguyên \(x\) thỏa mãn phương trình ban đầu. Các giá trị này là \(-4\), \(-2\), và \(4\). Do đó, tập hợp \(A\) được viết dưới dạng liệt kê là: \[ A = \{-4, -2, 4\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. \{-4, -2, 4\} \] Câu 12: Để tìm các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 2x^2 - 5x + 2 = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). Bước 1: Giải phương trình bậc hai \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). Phương trình này có dạng tổng quát \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 2 \). Bước 2: Tính biệt thức \( \Delta \). \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình. \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) hay không. - \( x_1 = 2 \) thuộc \( \mathbb{Z} \). - \( x_2 = \frac{1}{2} \) không thuộc \( \mathbb{Z} \). Vậy tập hợp \( X \) chỉ chứa nghiệm \( x = 2 \). Kết luận: Các phần tử của tập hợp \( X \) là \( \{2\} \). Đáp án đúng là: \[ C.~X=\{2\}. \] Câu 13: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị tự nhiên \( x \) thỏa mãn phương trình \((x^2 - 4)(x - 1)(2x^2 - 7x + 3) = 0\). Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong các nhân tử bằng 0. Do đó, chúng ta cần giải các phương trình sau: 1. \( x^2 - 4 = 0 \) 2. \( x - 1 = 0 \) 3. \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \) Bây giờ, chúng ta sẽ giải từng phương trình một: 1. \( x^2 - 4 = 0 \) \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Vì \( x \) phải là số tự nhiên, nên \( x = 2 \). 2. \( x - 1 = 0 \) \[ x = 1 \] 3. \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \) Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3) = 0 \] Từ đây, ta có: \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] Vì \( x \) phải là số tự nhiên, nên \( x = 3 \). Vậy các giá trị tự nhiên \( x \) thỏa mãn phương trình ban đầu là \( x = 1, 2, 3 \). Tập hợp \( X \) là: \[ X = \{1, 2, 3\} \] Tổng \( S \) các phần tử của \( X \) là: \[ S = 1 + 2 + 3 = 6 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~S=6} \] Câu 14: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập rỗng, chúng ta sẽ giải từng phương trình và kiểm tra xem nghiệm của chúng có thuộc tập hợp số tương ứng hay không. Tập hợp A: \[ A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 5x - 6 = 0\} \] Giải phương trình \( x^2 + 5x - 6 = 0 \): \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] \[ \sqrt{\Delta} = 7 \] \[ x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -6 \). Cả hai nghiệm này đều thuộc tập hợp số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, tập hợp \( A \) không phải là tập rỗng. Tập hợp B: \[ B = \{x \in \mathbb{Q} \mid 3x^2 - 5x + 2 = 0\} \] Giải phương trình \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \] \[ \sqrt{\Delta} = 1 \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = \frac{2}{3} \). Cả hai nghiệm này đều thuộc tập hợp số hữu tỉ \( \mathbb{Q} \). Do đó, tập hợp \( B \) không phải là tập rỗng. Tập hợp C: \[ C = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 + x - 1 = 0\} \] Giải phương trình \( x^2 + x - 1 = 0 \): \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{5} \] Vì \( \sqrt{5} \) không phải là số nguyên, nên phương trình này không có nghiệm nguyên. Do đó, tập hợp \( C \) là tập rỗng. Tập hợp D: \[ D = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 5x - 1 = 0\} \] Giải phương trình \( x^2 + 5x - 1 = 0 \): \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{29} \] \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} \) và \( x = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} \). Cả hai nghiệm này đều thuộc tập hợp số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, tập hợp \( D \) không phải là tập rỗng. Kết luận: Tập hợp \( C \) là tập rỗng. Đáp án: \( C \) Câu 15: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập hợp rỗng, chúng ta cần kiểm tra từng tập hợp một. Giả sử các tập hợp đã cho là: A = {x | x là số tự nhiên chẵn và x < 2} B = {x | x là số nguyên dương và x^2 = -1} C = {x | x là số thực và x^2 + 1 = 0} D = {x | x là số nguyên và x^2 = 4} Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng tập hợp: 1. Tập hợp A: A = {x | x là số tự nhiên chẵn và x < 2} Số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 2 là 0. Vậy A = {0}, nên A không phải là tập hợp rỗng. 2. Tập hợp B: B = {x | x là số nguyên dương và x^2 = -1} Không có số nguyên dương nào mà bình phương của nó bằng -1. Vậy B là tập hợp rỗng. 3. Tập hợp C: C = {x | x là số thực và x^2 + 1 = 0} Phương trình x^2 + 1 = 0 không có nghiệm thực vì x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó x^2 + 1 luôn lớn hơn 0. Vậy C là tập hợp rỗng. 4. Tập hợp D: D = {x | x là số nguyên và x^2 = 4} Các số nguyên mà bình phương của nó bằng 4 là 2 và -2. Vậy D = {2, -2}, nên D không phải là tập hợp rỗng. Kết luận: Các tập hợp rỗng là B và C.