Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC b) Chứng minh ∆AMB vuông cân.

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC 1. Xét tam giác ABC vuông cân tại A: - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(AB = AC\) và \(\angle BAC = 90^\circ\). 2. Xét trung tuyến AM: - Trung tuyến AM là đường thẳng nối từ đỉnh A đến trung điểm M của cạnh BC. Do đó, \(BM = MC\). 3. Xét hai tam giác AMB và AMC: - Ta có: - \(AB = AC\) (do tam giác ABC vuông cân tại A). - \(AM\) là cạnh chung. - \(BM = MC\) (do M là trung điểm của BC). 4. Kết luận: - Theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có \(\triangle AMB = \triangle AMC\). b) Chứng minh ∆AMB vuông cân 1. Từ phần a, ta đã có \(\triangle AMB = \triangle AMC\): - Điều này có nghĩa là \(\angle AMB = \angle AMC\). 2. Xét tam giác ABC vuông cân tại A: - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle BAC = 90^\circ\). 3. Tính góc \(\angle AMB\) và \(\angle AMC\): - Tổng các góc trong tam giác ABC là \(180^\circ\). - Do \(\angle BAC = 90^\circ\), nên \(\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ\). - Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ\). 4. Kết luận về tam giác AMB: - Vì \(\angle AMB = \angle AMC\) và \(\angle ABC = 45^\circ\), nên \(\angle AMB = \angle AMC = 45^\circ\). - Do đó, tam giác AMB là tam giác vuông cân tại M với \(\angle AMB = 45^\circ\). Vậy, ta đã chứng minh được \(\triangle AMB\) vuông cân.