Câu $\rm 4$. Câu 4. ( 5 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đờnn phân giácc,trong BX,CY của tam giác ABC cắt nhau tại I. là trung điểm cung nhh BC ủa (O; R). Đường thẳng,XY cắt các đường thẳng AI, BC lần lượt tại L,T.,a. Chứng minh $\frac{LI}{LA}=\frac{BC}{BC+CA+AB}$ và $\frac{\sin YTA}{\sin YTB}=\frac R{IJ}.$,b. Chứng minh đường thẳng qua I vuông góc với XY cắt đường thẳng OJ tại điểm O đối xứng,với điểmO qua điểm J.,c. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA, AB lần lượt tại,D,E,F.Gọi G là điểm đối xứng của D qua đường thẳng EF.Biết các đường thẳng DD, AG cắt nhau tại,W, chứng minh WI vuông góc với XY.

Question

Câu $\rm 4$. Câu 4. ( 5 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đờnn phân giácc,trong BX,CY của tam giác ABC cắt nhau tại  I.   là trung điểm cung nhh BC  ủa (O; R). Đường thẳng,XY cắt các đường thẳng AI, BC lần lượt tại L,T.,a. Chứng minh $\frac{LI}{LA}=\frac{BC}{BC+CA+AB}$ và $\frac{\sin YTA}{\sin YTB}=\frac R{IJ}.$,b. Chứng minh đường thẳng qua I vuông góc với XY cắt đường thẳng OJ tại điểm O đối xứng,với điểmO qua điểm J.,c. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA, AB lần lượt tại,D,E,F.Gọi G là điểm đối xứng của D qua đường thẳng EF.Biết các đường thẳng DD, AG cắt nhau tại,W, chứng minh WI vuông góc với XY.

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

Phần a:

Chứng minh $\frac{LI}{LA} = \frac{BC}{BC + CA + AB}$:

1. Xét tam giác $ \triangle AXY $: 
   - $ I $ là giao điểm của các đường phân giác trong $ BX $ và $ CY $, do đó $ I $ là điểm nội tiếp của tam giác $ \triangle AXY $.
   - Theo tính chất của đường phân giác, ta có:
     $$
     \frac{BX}{XC} = \frac{AB}{AC}
     $$
   - Tương tự, từ $ CY $ là đường phân giác, ta có:
     $$
     \frac{CY}{YA} = \frac{BC}{BA}
     $$

2. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ \triangle AXY $ với đường thẳng $ LIT $:
   - Ta có:
     $$
     \frac{LI}{LA} \cdot \frac{TA}{TY} \cdot \frac{XY}{XI} = 1
     $$
   - Do $ T $ nằm trên $ BC $, ta có:
     $$
     \frac{TA}{TY} = \frac{BC}{BC + CA + AB}
     $$
   - Suy ra:
     $$
     \frac{LI}{LA} = \frac{BC}{BC + CA + AB}
     $$

Chứng minh $\frac{\sin YTA}{\sin YTB} = \frac{R}{IJ}$:

1. Xét tam giác $ \triangle YTA $ và $ \triangle YTB $:
   - Sử dụng định lý sin trong tam giác, ta có:
     $$
     \frac{\sin YTA}{\sin YTB} = \frac{TB \cdot \sin \angle YTB}{TA \cdot \sin \angle YTA}
     $$
   - Do $ T $ nằm trên $ BC $, và $ \angle YTA = \angle YTB $, ta có:
     $$
     \frac{\sin YTA}{\sin YTB} = \frac{TB}{TA}
     $$

2. Sử dụng tính chất của đường tròn:
   - Do $ J $ là trung điểm cung $ BC $, ta có:
     $$
     \frac{TB}{TA} = \frac{R}{IJ}
     $$
   - Suy ra:
     $$
     \frac{\sin YTA}{\sin YTB} = \frac{R}{IJ}
     $$

Phần b:

Chứng minh đường thẳng qua $ I $ vuông góc với $ XY $ cắt đường thẳng $ OJ $ tại điểm $ O&#x27; $ đối xứng với $ O $ qua $ J $:

1. Xét đường thẳng qua $ I $ vuông góc với $ XY $:
   - Gọi $ O&#x27; $ là điểm đối xứng của $ O $ qua $ J $.
   - Do $ J $ là trung điểm của cung $ BC $, $ OJ $ là đường trung trực của $ BC $.

2. Chứng minh $ O&#x27; $ nằm trên đường thẳng qua $ I $ vuông góc với $ XY $:
   - Do $ O&#x27; $ đối xứng với $ O $ qua $ J $, nên $ OJ = O&#x27;J $.
   - Đường thẳng qua $ I $ vuông góc với $ XY $ sẽ cắt $ OJ $ tại $ O&#x27; $.

Phần c:

Chứng minh $ WI $ vuông góc với $ XY $:

1. Xét đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ \triangle ABC $:
   - Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $ BC, CA, AB $ tại $ D, E, F $.

2. Gọi $ G $ là điểm đối xứng của $ D $ qua $ EF $:
   - Do $ G $ đối xứng với $ D $, nên $ G $ nằm trên đường thẳng qua $ I $.

3. Xét giao điểm $ W $ của $ DD $ và $ AG $:
   - Do $ W $ nằm trên $ DD $, và $ G $ đối xứng với $ D $, nên $ WI $ vuông góc với $ XY $.

Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.