Tìm min, max của MN. 2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Hai điểm M,N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD,sao cho $BM=DN.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN .

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $ MN $ trong tứ diện đều $ ABCD $ với cạnh $ a $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vị trí của các điểm

- Tứ diện đều $ ABCD $ có các cạnh bằng nhau và bằng $ a $.
- Điểm $ M $ nằm trên đoạn $ AB $ và điểm $ N $ nằm trên đoạn $ CD $ sao cho $ BM = DN $.

Bước 2: Đặt ẩn và điều kiện

- Gọi $ BM = x $, do đó $ AM = a - x $.
- Vì $ BM = DN $, nên $ DN = x $ và $ CN = a - x $.

Bước 3: Biểu diễn độ dài $ MN $

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác $ AMN $, ta có:
  $$
  MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos(\angle MAN)
  $$

- Do tứ diện đều, góc giữa các cạnh là $ 60^\circ $, nên $ \cos(\angle MAN) = \frac{1}{2} $.

- Thay vào công thức, ta có:
  $$
  MN^2 = (a-x)^2 + (a-x)^2 - 2(a-x)(a-x)\cdot\frac{1}{2}
  $$
  $$
  MN^2 = 2(a-x)^2 - (a-x)^2 = (a-x)^2
  $$

- Do đó, $ MN = a - x $.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $ MN $

- $ x $ có thể thay đổi từ $ 0 $ đến $ a $ (vì $ M $ và $ N $ chạy trên các đoạn $ AB $ và $ CD $).

- Khi $ x = 0 $, $ MN = a - 0 = a $.

- Khi $ x = a $, $ MN = a - a = 0 $.

Kết luận

- Giá trị lớn nhất của $ MN $ là $ a $, đạt được khi $ x = 0 $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ MN $ là $ 0 $, đạt được khi $ x = a $.