Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Giải phương trình vi phân:,$\frac{dy}{dx}+y an x=\sin x$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Giải phương trình vi phân:,$\frac{dy}{dx}+y	an x=\sin x$

Accepted Answer

Để giải phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin x$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử tích phân.

Bước 1: Xác định phương trình vi phân tuyến tính.
Phương trình đã cho là một phương trình vi phân tuyến tính có dạng:
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
với $P(x) = \tan x$ và $Q(x) = \sin x$.

Bước 2: Tìm nhân tử tích phân.
Nhân tử tích phân $I(x)$ được xác định bởi:
$$
I(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \tan x \, dx}
$$

Tính tích phân $\int \tan x \, dx$:
$$
\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| = \ln\left(\frac{1}{|\cos x|}\right)
$$

Do đó, nhân tử tích phân là:
$$
I(x) = e^{\ln\left(\frac{1}{|\cos x|}\right)} = \frac{1}{|\cos x|}
$$

Bước 3: Nhân cả hai vế của phương trình vi phân với nhân tử tích phân.
$$
\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{1}{\cos x} \cdot y \tan x = \frac{1}{\cos x} \cdot \sin x
$$

Đơn giản hóa:
$$
\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{dy}{dx} + y \sec x \tan x = \tan x
$$

Bước 4: Viết lại phương trình dưới dạng đạo hàm của tích.
$$
\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{\cos x} \right) = \tan x
$$

Bước 5: Tích phân cả hai vế theo $x$.
$$
y \cdot \frac{1}{\cos x} = \int \tan x \, dx + C
$$

Tính tích phân $\int \tan x \, dx$:
$$
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
$$

Do đó:
$$
y \cdot \frac{1}{\cos x} = -\ln|\cos x| + C
$$

Bước 6: Giải tìm $y$.
$$
y = (-\ln|\cos x| + C) \cdot \cos x
$$

Đơn giản hóa:
$$
y = -\cos x \ln|\cos x| + C \cos x
$$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
$$
y = -\cos x \ln|\cos x| + C \cos x
$$