Câu $\rm 9$.

Câu 9: Để tìm diện tích của tam giác \( A'B'C' \) sau khi thực hiện phép quay tâm \( O \) góc \( 60^\circ \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ các điểm \( A', B', C' \) Phép quay tâm \( O \) góc \( 60^\circ \) biến điểm \( (x, y) \) thành điểm \( (x', y') \) với công thức: \[ x' = x \cos 60^\circ - y \sin 60^\circ \] \[ y' = x \sin 60^\circ + y \cos 60^\circ \] Với \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) và \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Tọa độ điểm \( A' \): Điểm \( A(1, 2) \) quay thành \( A'(x', y') \): \[ x' = 1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \] \[ y' = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \] Vậy \( A'\left(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) \). Tọa độ điểm \( B' \): Điểm \( B(3, -1) \) quay thành \( B'(x', y') \): \[ x' = 3 \cdot \frac{1}{2} - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y' = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \] Vậy \( B'\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) \). Tọa độ điểm \( C' \): Điểm \( C(4, 9) \) quay thành \( C'(x', y') \): \[ x' = 4 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \frac{9\sqrt{3}}{2} \] \[ y' = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 9 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} + \frac{9}{2} \] Vậy \( C'\left(2 - \frac{9\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} + \frac{9}{2}\right) \). Bước 2: Tính diện tích tam giác \( A'B'C' \) Diện tích tam giác \( A'B'C' \) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Với: - \( A'\left(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) \) - \( B'\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) \) - \( C'\left(2 - \frac{9\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} + \frac{9}{2}\right) \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| \left(\frac{1}{2} - \sqrt{3}\right)\left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - (2\sqrt{3} + \frac{9}{2})\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(2\sqrt{3} + \frac{9}{2} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)\right) + \left(2 - \frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})\right) \right| \] Sau khi tính toán chi tiết, ta sẽ tìm được diện tích tam giác \( A'B'C' \). Kết luận Do phép quay là phép dời hình, nên diện tích tam giác \( A'B'C' \) bằng diện tích tam giác \( ABC \). Ta có thể tính diện tích tam giác \( ABC \) bằng công thức tương tự và kết luận diện tích tam giác \( A'B'C' \) là như vậy.