Dãy (a_n) xác định bởi a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + n!. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn n sao cho a_n chia hết cho n.

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại vô hạn n sao cho \( a_n \) chia hết cho n. Trước tiên, ta xét dãy số \( (a_n) \) được xác định bởi \( a_1 = 1 \) và \( a_{n+1} = a_n + n! \). Ta sẽ chứng minh rằng nếu \( a_k \) chia hết cho k thì \( a_{k+1} \) cũng chia hết cho \( k+1 \). Giả sử \( a_k \) chia hết cho k, tức là \( a_k = mk \) với m là một số nguyên. Khi đó, ta có: \[ a_{k+1} = a_k + k! = mk + k! \] Ta cần chứng minh \( a_{k+1} \) chia hết cho \( k+1 \). Ta có: \[ a_{k+1} = mk + k! \] Do \( k! \) chia hết cho \( k+1 \) (vì \( k! \) là tích của tất cả các số từ 1 đến k, trong đó có chứa \( k+1 \)), nên \( k! \) chia hết cho \( k+1 \). Vậy \( mk + k! \) chia hết cho \( k+1 \), tức là \( a_{k+1} \) chia hết cho \( k+1 \). Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại ít nhất một giá trị của n sao cho \( a_n \) chia hết cho n. Xét \( a_1 = 1 \), ta thấy \( a_1 \) chia hết cho 1. Theo quy nạp, ta đã chứng minh rằng nếu \( a_k \) chia hết cho k thì \( a_{k+1} \) cũng chia hết cho \( k+1 \). Vậy, ta có thể kết luận rằng tồn tại vô hạn n sao cho \( a_n \) chia hết cho n. Điều này hoàn tất chứng minh.