Câu $\rm 12$.

Câu 12: Để tìm hệ số của \( x^7 \) trong khai triển \( f(x) = (1 - 3x + 2x^3)^{10} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để chọn các hạng tử từ mỗi nhân tử \( (1 - 3x + 2x^3) \) sao cho tổng số mũ của \( x \) trong các hạng tử này bằng 7. Bước 1: Xác định các hạng tử có thể góp phần vào \( x^7 \). Các hạng tử trong \( (1 - 3x + 2x^3) \) là: - \( 1 \) (số mũ của \( x \) là 0) - \( -3x \) (số mũ của \( x \) là 1) - \( 2x^3 \) (số mũ của \( x \) là 3) Bước 2: Tìm các tổ hợp của các hạng tử trên sao cho tổng số mũ của \( x \) bằng 7. Có ba trường hợp cần xét: 1. Chọn 7 lần \( -3x \) và 3 lần \( 1 \): - Số cách chọn 7 lần \( -3x \) từ 10 lần là \( C_{10}^{7} \). - Hệ số của \( x^7 \) trong trường hợp này là \( (-3)^7 \cdot C_{10}^{7} \). 2. Chọn 4 lần \( -3x \), 1 lần \( 2x^3 \), và 5 lần \( 1 \): - Số cách chọn 4 lần \( -3x \) từ 10 lần là \( C_{10}^{4} \). - Số cách chọn 1 lần \( 2x^3 \) từ 10 lần còn lại là \( C_{6}^{1} \). - Hệ số của \( x^7 \) trong trường hợp này là \( (-3)^4 \cdot 2 \cdot C_{10}^{4} \cdot C_{6}^{1} \). 3. Chọn 1 lần \( -3x \), 2 lần \( 2x^3 \), và 7 lần \( 1 \): - Số cách chọn 1 lần \( -3x \) từ 10 lần là \( C_{10}^{1} \). - Số cách chọn 2 lần \( 2x^3 \) từ 10 lần còn lại là \( C_{9}^{2} \). - Hệ số của \( x^7 \) trong trường hợp này là \( (-3)^1 \cdot 2^2 \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{9}^{2} \). Bước 3: Tính tổng các hệ số từ các trường hợp trên. \[ \begin{align} \text{Hệ số của } x^7 &= (-3)^7 \cdot C_{10}^{7} + (-3)^4 \cdot 2 \cdot C_{10}^{4} \cdot C_{6}^{1} + (-3)^1 \cdot 2^2 \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{9}^{2} \\ &= (-2187) \cdot 120 + 81 \cdot 2 \cdot 210 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 \cdot 10 \cdot 36 \\ &= -262440 + 204120 - 4320 \\ &= -62640. \end{align} \] Vậy hệ số của \( x^7 \) trong khai triển \( f(x) = (1 - 3x + 2x^3)^{10} \) là \(-62640\).