Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: a. $\sin x=-\frac12$ Ta có: $\sin x=-\frac12$ $\Leftrightarrow \sin x=\sin(-\frac{\pi}{6})$ $\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ b. $\sin x=0$ Ta có: $\sin x=0$ $\Leftrightarrow x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ c. $\sin x=\frac43$ Phương trình vô nghiệm vì $|\sin x| \leq 1$ nhưng $\frac43 > 1$ d. $\cos x=\cos\frac{3\pi}{8}$ Ta có: $\cos x=\cos\frac{3\pi}{8}$ $\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{8}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi}{8}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ e. $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$ Ta có: $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \cos x=\cos(\frac{3\pi}{4})$ $\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ f. $\cos x=-1$ Ta có: $\cos x=-1$ $\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ g. $\tan x=\frac{\sqrt3}{3}$ Ta có: $\tan x=\frac{\sqrt3}{3}$ $\Leftrightarrow \tan x=\tan(\frac{\pi}{6})$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ h. $\cot x=\frac{\sqrt3}{3}$ Ta có: $\cot x=\frac{\sqrt3}{3}$ $\Leftrightarrow \cot x=\cot(\frac{\pi}{3})$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ Câu 2: a. $\sin(2x-\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}2$ Ta có: $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ $2x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi + k2\pi$ $x = k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. b. $\cos(2x+\frac{2\pi}{3})=\cos(x-\pi)$ Ta có: $2x + \frac{2\pi}{3} = x - \pi + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{2\pi}{3} = -x + \pi + k2\pi$ $x = -\frac{5\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$ $x = -\frac{5\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{5\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. c. $\sin(\frac{\pi}{4}-x)=\cos3x$ Ta có: $\frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{2} - 3x + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{\pi}{4} - x = -\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + k2\pi$ $2x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 4x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{8} + k\pi$ hoặc $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. d. $\cos(3x)-\sin(2x)$ Ta có: $3x = \frac{\pi}{2} - 2x + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + k2\pi$ $5x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{10} + \frac{k2\pi}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{10} + \frac{k2\pi}{5}$ hoặc $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. e. $\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Ta có: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{x}{2} = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi$ $x = -\frac{\pi}{6} + k4\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + k4\pi$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{\pi}{6} + k4\pi$ hoặc $x = -\frac{5\pi}{6} + k4\pi$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. f. $\cot(\frac{\pi}{3}-2x)=1$ Ta có: $\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ $-2x = -\frac{\pi}{12} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{24} - \frac{k\pi}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{24} - \frac{k\pi}{2}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. g. $\tan(x-\frac{\pi}{5}).\cot(2x+\frac{\pi}{6})=1$ Ta có: $x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} - (2x + \frac{\pi}{6}) + k\pi$ $3x = \frac{13\pi}{30} + k\pi$ $x = \frac{13\pi}{90} + \frac{k\pi}{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{13\pi}{90} + \frac{k\pi}{3}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. h. $\tan(3x-\frac{\pi}{2})+\cot x=0$ Ta có: $3x - \frac{\pi}{2} = -x + k\pi$ $4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. Câu 3: Câu a. \( \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \) Đặt \( y = \sin x \). Phương trình trở thành: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \] \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ y = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] Do \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( y = 2 \) không thỏa mãn. Vậy ta có: \[ \sin x = 1 \] Giải phương trình \( \sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu b. \( 3 \tan^2 x - 10 \tan x + 3 = 0 \) Đặt \( t = \tan x \). Phương trình trở thành: \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \] \[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} \] \[ t = \frac{10 \pm 8}{6} \] \[ t = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Vậy ta có: \[ \tan x = 3 \quad \text{hoặc} \quad \tan x = \frac{1}{3} \] Giải phương trình \( \tan x = 3 \): \[ x = \arctan 3 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Giải phương trình \( \tan x = \frac{1}{3} \): \[ x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Tóm lại: a. \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \) b. \( x = \arctan 3 + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \) Câu 4: Câu a: $\cos2x + 3\sin x - 2 = 0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện hạn chế nào cho phương trình này. Ta có: \[ \cos2x + 3\sin x - 2 = 0 \] Sử dụng công thức $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$, ta có: \[ 1 - 2\sin^2x + 3\sin x - 2 = 0 \] \[ -2\sin^2x + 3\sin x - 1 = 0 \] Đặt $t = \sin x$, ta có phương trình bậc hai: \[ -2t^2 + 3t - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-4} = \frac{-3 \pm 1}{-4} \] \[ t = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \] \[ t = \frac{-3 - 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \] Vậy $\sin x = \frac{1}{2}$ hoặc $\sin x = 1$. Khi $\sin x = \frac{1}{2}$: \[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Khi $\sin x = 1$: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu b: $\cos2x + 3\cos x - 4 = 0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện hạn chế nào cho phương trình này. Ta có: \[ \cos2x + 3\cos x - 4 = 0 \] Sử dụng công thức $\cos2x = 2\cos^2x - 1$, ta có: \[ 2\cos^2x - 1 + 3\cos x - 4 = 0 \] \[ 2\cos^2x + 3\cos x - 5 = 0 \] Đặt $t = \cos x$, ta có phương trình bậc hai: \[ 2t^2 + 3t - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \] \[ t = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ t = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \] Vì $\cos x$ không thể lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn -1, nên chỉ có nghiệm $\cos x = 1$. Khi $\cos x = 1$: \[ x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu c: $\sin2x - 2\sin x = 0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện hạn chế nào cho phương trình này. Ta có: \[ \sin2x - 2\sin x = 0 \] Sử dụng công thức $\sin2x = 2\sin x \cos x$, ta có: \[ 2\sin x \cos x - 2\sin x = 0 \] \[ 2\sin x (\cos x - 1) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ \sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \cos x = 1 \] Khi $\sin x = 0$: \[ x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Khi $\cos x = 1$: \[ x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu 5: Để giải phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trong khoảng \(x \in (0; \pi)\), chúng ta sẽ làm như sau: 1. Nhắc lại giá trị của \(\sin x\) trong khoảng \(0 < x < \pi\): - Trong khoảng \(0 < x < \pi\), \(\sin x\) nhận các giá trị từ 0 đến 1. 2. Xác định các góc mà \(\sin x = \frac{1}{2}\): - Ta biết rằng \(\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\). - Ngoài ra, trong khoảng \(0 < x < \pi\), còn có \(\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\). 3. Kiểm tra các giá trị này trong khoảng \(0 < x < \pi\): - \(\frac{\pi}{6}\) nằm trong khoảng \(0 < x < \pi\). - \(\frac{5\pi}{6}\) cũng nằm trong khoảng \(0 < x < \pi\). 4. Kết luận: - Các nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trong khoảng \(0 < x < \pi\) là \(x = \frac{\pi}{6}\) hoặc \(x = \frac{5\pi}{6}\). Do đó, các nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trong khoảng \(0 < x < \pi\) là: \[ x = \frac{\pi}{6} \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} \] Câu 6: Để giải phương trình \(\sin(4x + \frac{\pi}{3}) = \cos(3x)\) trong khoảng \((0, 2\pi)\), chúng ta sẽ sử dụng công thức chuyển đổi giữa sin và cos. Bước 1: Chuyển đổi \(\cos(3x)\) thành \(\sin\) theo công thức \(\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)\). \[ \cos(3x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) \] Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu: \[ \sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) \] Bước 3: Phương trình \(\sin A = \sin B\) có nghiệm tổng quát là: \[ A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Áp dụng vào phương trình trên: 1. \(4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 3x + k2\pi\) \[ 4x + 3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 7x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{42} + \frac{k2\pi}{7} \] 2. \(4x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + k2\pi\) \[ 4x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} + 3x + k2\pi \] \[ 4x - 3x = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] Bước 4: Tìm các nghiệm \(x\) trong khoảng \((0, 2\pi)\): 1. \(x = \frac{\pi}{42} + \frac{k2\pi}{7}\) - Với \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{42}\) - Với \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi}{7} = \frac{\pi}{42} + \frac{12\pi}{42} = \frac{13\pi}{42}\) - Với \(k = 2\): \(x = \frac{\pi}{42} + \frac{4\pi}{7} = \frac{\pi}{42} + \frac{24\pi}{42} = \frac{25\pi}{42}\) - Với \(k = 3\): \(x = \frac{\pi}{42} + \frac{6\pi}{7} = \frac{\pi}{42} + \frac{36\pi}{42} = \frac{37\pi}{42}\) - Với \(k = 4\): \(x = \frac{\pi}{42} + \frac{8\pi}{7} = \frac{\pi}{42} + \frac{48\pi}{42} = \frac{49\pi}{42} > 2\pi\) 2. \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) - Với \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{6}\) - Với \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} > 2\pi\) Bước 5: Kết luận các nghiệm trong khoảng \((0, 2\pi)\): \[ x = \frac{\pi}{42}, \frac{13\pi}{42}, \frac{25\pi}{42}, \frac{37\pi}{42}, \frac{\pi}{6} \]