Câu $\rm 4$.

Câu 4: Điều kiện xác định: \[ (1+2\cos x)\sin x \neq 0 \] Từ đó suy ra: \[ \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ 1 + 2\cos x \neq 0 \end{cases} \] Hay: \[ \begin{cases} x \neq k\pi \\ \cos x \neq -\frac{1}{2} \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Ta có phương trình: \[ \frac{(1-2\cos x)(1+\cos x)}{(1+2\cos x)\sin x} = 1 \] Nhân chéo để đơn giản hóa: \[ (1-2\cos x)(1+\cos x) = (1+2\cos x)\sin x \] Mở rộng vế trái: \[ 1 + \cos x - 2\cos x - 2\cos^2 x = (1+2\cos x)\sin x \] Rút gọn: \[ 1 - \cos x - 2\cos^2 x = (1+2\cos x)\sin x \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 1 - \cos x - 2\cos^2 x - (1+2\cos x)\sin x = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ (\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0 \] Suy ra: \[ \sin x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = -1 \] Do đó: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kiểm tra điều kiện: \[ \cos x \neq -\frac{1}{2} \] Với \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \): \[ \cos \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) = 0 \quad \text{hoặc} \quad \cos \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) = 0 \] Cả hai trường hợp đều thỏa mãn điều kiện \( \cos x \neq -\frac{1}{2} \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Xác định số nghiệm trong khoảng \( (0; 2019\pi) \): \[ 0 < \frac{\pi}{2} + k\pi < 2019\pi \] Chia cả hai vế cho \( \pi \): \[ 0 < \frac{1}{2} + k < 2019 \] Trừ \( \frac{1}{2} \) từ cả hai vế: \[ -\frac{1}{2} < k < 2018.5 \] Vì \( k \) là số nguyên, ta có: \[ 0 \leq k \leq 2018 \] Số giá trị của \( k \) là: \[ 2019 \quad \text{(vì \( k \) chạy từ 0 đến 2018)} \] Vậy phương trình đã cho có 2019 nghiệm thuộc khoảng \( (0; 2019\pi) \).