Câu $\rm 9$. Câu 9. Trong khai triển $(3x^2+\frac1x)^n$ hệ số của $x^3$ là $3^4C^5_n$ giá trị n là:

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để tìm giá trị của $ n $ trong khai triển $ (3x^2 + \frac{1}{x})^n $ sao cho hệ số của $ x^3 $ là $ 3^4 C_5^n $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định hạng tử tổng quát trong khai triển:
   Hạng tử tổng quát trong khai triển $ (3x^2 + \frac{1}{x})^n $ có dạng:
   $$
   T_k = C_n^k (3x^2)^k \left(\frac{1}{x}\right)^{n-k}
   $$
   Đơn giản hóa hạng tử này:
   $$
   T_k = C_n^k \cdot 3^k \cdot x^{2k} \cdot x^{-(n-k)} = C_n^k \cdot 3^k \cdot x^{2k - (n-k)} = C_n^k \cdot 3^k \cdot x^{3k - n}
   $$

2. Xác định hạng tử chứa $ x^3 $:
   Để hạng tử chứa $ x^3 $, ta cần có:
   $$
   3k - n = 3
   $$
   Giải phương trình này để tìm $ k $:
   $$
   3k - n = 3 \implies 3k = n + 3 \implies k = \frac{n + 3}{3}
   $$

3. Hệ số của $ x^3 $:
   Hệ số của $ x^3 $ là:
   $$
   C_n^k \cdot 3^k
   $$
   Thay $ k = \frac{n + 3}{3} $ vào:
   $$
   C_n^{\frac{n + 3}{3}} \cdot 3^{\frac{n + 3}{3}}
   $$

4. So sánh với hệ số cho trước:
   Theo đề bài, hệ số của $ x^3 $ là $ 3^4 C_5^n $. Do đó:
   $$
   C_n^{\frac{n + 3}{3}} \cdot 3^{\frac{n + 3}{3}} = 3^4 C_5^n
   $$

5. Giải phương trình:
   Ta cần $ \frac{n + 3}{3} $ là số nguyên, do đó $ n + 3 $ phải chia hết cho 3. Giả sử $ n + 3 = 3m $ với $ m $ là số nguyên, suy ra $ n = 3m - 3 $.

Thay $ n = 3m - 3 $ vào phương trình:
   $$
   C_{3m-3}^m \cdot 3^m = 3^4 C_5^{3m-3}
   $$

Ta thử các giá trị của $ m $ để tìm $ n $:

- Nếu $ m = 3 $:
     $$
     n = 3 \cdot 3 - 3 = 6
     $$
     Kiểm tra:
     $$
     C_6^3 \cdot 3^3 = 20 \cdot 27 = 540
     $$
     $$
     3^4 C_5^6 = 81 \cdot 1 = 81
     $$
     Không thỏa mãn.

- Nếu $ m = 4 $:
     $$
     n = 3 \cdot 4 - 3 = 9
     $$
     Kiểm tra:
     $$
     C_9^4 \cdot 3^4 = 126 \cdot 81 = 10206
     $$
     $$
     3^4 C_5^9 = 81 \cdot 126 = 10206
     $$
     Thỏa mãn.

Vậy giá trị của $ n $ là $ 9 $.

$$
\boxed{9}
$$