cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 ,SA vuông góc với mặt đáy và SC = 3√2. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD bằng bao nhiêu

Question

Accepted Answer

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ BM $ và $ SD $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử đáy $ ABCD $ nằm trong mặt phẳng $ Oxy $ với:
- $ A(0, 0, 0) $
- $ B(2, 0, 0) $
- $ C(2, 2, 0) $
- $ D(0, 2, 0) $

Vì $ SA $ vuông góc với mặt đáy, nên $ S $ có tọa độ $ (0, 0, z) $. Do $ SC = 3\sqrt{2} $, ta có:
$$
SC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-z)^2} = 3\sqrt{2}
$$
$$
\Rightarrow \sqrt{4 + 4 + z^2} = 3\sqrt{2}
$$
$$
\Rightarrow 8 + z^2 = 18
$$
$$
\Rightarrow z^2 = 10 \Rightarrow z = \sqrt{10}
$$
Vậy $ S(0, 0, \sqrt{10}) $.

Bước 2: Xác định tọa độ điểm $ M $

$ M $ là trung điểm của $ AD $, nên:
$$
M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 1, 0)
$$

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng $ BM $ và $ SD $

- Đường thẳng $ BM $ đi qua $ B(2, 0, 0) $ và $ M(0, 1, 0) $ có vector chỉ phương $\overrightarrow{BM} = (0-2, 1-0, 0-0) = (-2, 1, 0)$.

- Đường thẳng $ SD $ đi qua $ S(0, 0, \sqrt{10}) $ và $ D(0, 2, 0) $ có vector chỉ phương $\overrightarrow{SD} = (0-0, 2-0, 0-\sqrt{10}) = (0, 2, -\sqrt{10})$.

Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ BM $ và $ SD $ được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{AB}]|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|}
$$
với $\overrightarrow{u} = (-2, 1, 0)$, $\overrightarrow{v} = (0, 2, -\sqrt{10})$, và $\overrightarrow{AB} = (2, 0, 0)$.

Tính tích có hướng $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$:
$$
\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & 1 & 0 \
0 & 2 & -\sqrt{10}
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-\sqrt{10}) - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-2 \cdot (-\sqrt{10}) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 0)
$$
$$
= -\sqrt{10}\mathbf{i} - 2\sqrt{10}\mathbf{j} - 4\mathbf{k}
$$

Tính độ dài $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|$:
$$
|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{(-\sqrt{10})^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-4)^2} = \sqrt{10 + 40 + 16} = \sqrt{66}
$$

Tính $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{AB}]|$:
$$
[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{AB}] = \begin{vmatrix}
-2 & 1 & 0 \
0 & 2 & -\sqrt{10} \
2 & 0 & 0
\end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} 2 & -\sqrt{10} \ 0 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & -\sqrt{10} \ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 2 \ 2 & 0 \end{vmatrix}
$$
$$
= -2(0) - 1(0 - (-2\sqrt{10})) = 2\sqrt{10}
$$

Vậy khoảng cách $ d $ là:
$$
d = \frac{|2\sqrt{10}|}{\sqrt{66}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{66}} = \frac{2\sqrt{165}}{33}
$$

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BM $ và $ SD $ là $\frac{2\sqrt{165}}{33}$.