Giúp mình với!

Câu 15: Để giải phương trình \(\sin2x - 2\cos x = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi phương trình: \[ \sin2x - 2\cos x = 0 \] Ta biết rằng \(\sin2x = 2\sin x \cos x\). Thay vào phương trình: \[ 2\sin x \cos x - 2\cos x = 0 \] 2. Nhóm các hạng tử chung: \[ 2\cos x (\sin x - 1) = 0 \] 3. Giải phương trình tích bằng 0: Phương trình trên sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ 2\cos x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin x - 1 = 0 \] 4. Giải từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(2\cos x = 0\) \[ \cos x = 0 \] Giải phương trình này: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] - Trường hợp 2: \(\sin x - 1 = 0\) \[ \sin x = 1 \] Giải phương trình này: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 5. Kết hợp các nghiệm: Các nghiệm từ cả hai trường hợp đều có dạng: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy, họ nghiệm của phương trình \(\sin2x - 2\cos x = 0\) là: \[ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} \] Đáp án đúng là: \(A.~x=\frac\pi2+k\pi,~k\in\mathbb{Z}\). Câu 16: Để giải phương trình \(\sin 3x = \sin x\), chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng quát cho phương trình \(\sin A = \sin B\): \[ \sin A = \sin B \implies A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Áp dụng công thức này vào phương trình \(\sin 3x = \sin x\): 1. Trường hợp thứ nhất: \[ 3x = x + k2\pi \implies 2x = k2\pi \implies x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Trường hợp thứ hai: \[ 3x = \pi - x + k2\pi \implies 4x = \pi + k2\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \sin x\) là: \[ \{k\pi,~k \in \mathbb{Z}\} \cup \left\{\frac{\pi}{4} + l\frac{\pi}{2},~l \in \mathbb{Z}\right\} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ B.~\{k\pi,~k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + l\frac{\pi}{2},~l \in \mathbb{Z}\} \] Câu 17: Để giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$, chúng ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho sin của nó bằng $\frac{1}{2}$. Biết rằng: \[ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] và \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] Do đó, các nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ trong khoảng $[0, 2\pi]$ là: \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} \] Trong các nghiệm này, nghiệm dương nhỏ nhất là: \[ x = \frac{\pi}{6} \] Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là: \[ \boxed{\frac{\pi}{6}} \] Câu 18: Để giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$, chúng ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho sin của nó bằng $\frac{1}{2}$. Biết rằng: \[ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] và \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] Do tính chất tuần hoàn của hàm sin, các nghiệm tổng quát của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Chúng ta cần tìm nghiệm âm lớn nhất. Xét các giá trị âm gần nhất: 1. Với $k = -1$: \[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \] 2. Với $k = -2$: \[ x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \] Trong các nghiệm trên, nghiệm âm lớn nhất là: \[ -\frac{7\pi}{6} \] Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là: \[ \boxed{-\frac{7\pi}{6}} \] Câu 19: Để giải phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\) trong khoảng \([0, 2\pi]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi phương trình: \[ \sin 2x - \cos x = 0 \] Ta biết rằng \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Thay vào phương trình: \[ 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \] 2. Phân tích thành nhân tử: \[ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \] 3. Giải từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(\cos x = 0\) \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trong khoảng \([0, 2\pi]\): \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \] - Trường hợp 2: \(2 \sin x - 1 = 0\) \[ 2 \sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \] Trong khoảng \([0, 2\pi]\): \[ x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \] 4. Liệt kê tất cả các nghiệm trong khoảng \([0, 2\pi]\): \[ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \] 5. Tính tổng \(T\) của các nghiệm: \[ T = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} \] Đưa về cùng mẫu số chung: \[ T = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} = 3\pi \] Vậy tổng \(T\) của tất cả các nghiệm thuộc đoạn \([0, 2\pi]\) của phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\) là: \[ \boxed{T = 3\pi} \]