Câu $\rm 4$. Câu 4: Cho khai triển $(1+x)^n$ với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong,khai triển biết $C^1_{2n+1}+C^3_{2n+1}+C^5_{2n+1}+...+C^{2n+1}_{2n+1}=2^{20}.$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(1+x)^n$, chúng ta cần sử dụng công thức tổ hợp để xác định hệ số này. Trước tiên, chúng ta sẽ giải quyết phương trình liên quan đến tổng các tổ hợp chẵn và lẻ.

1. Tìm giá trị của $n$:
   Ta có:
   $$
   C^1_{2n+1} + C^3_{2n+1} + C^5_{2n+1} + \ldots + C^{2n+1}_{2n+1} = 2^{20}
   $$
   Đây là tổng các tổ hợp lẻ của $2n+1$. Ta biết rằng tổng các tổ hợp chẵn và lẻ của $2n+1$ bằng $2^{2n}$. Do đó, tổng các tổ hợp lẻ cũng bằng $2^{2n-1}$.

Vì vậy:
   $$
   2^{2n-1} = 2^{20}
   $$
   Suy ra:
   $$
   2n-1 = 20 \implies 2n = 21 \implies n = 10
   $$

2. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(1+x)^{10}$:
   Hệ số của $x^3$ trong khai triển $(1+x)^{10}$ là $C^3_{10}$.

Ta tính:
   $$
   C^3_{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
   $$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(1+x)^{10}$ là $120$.

Đáp số: $120$.