Cái bài 2 làm như nào vậy????

Câu 19: Để tìm khoảng cách \( BC \), ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \). Cho tam giác \( ABC \) với \( \widehat{ABC} = \widehat{CAB} = 28^\circ \) và \( AD = 10 \) km. Ta cần tìm \( BC \). 1. Tính góc \( \widehat{ACB} \): \[ \widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{CAB} = 180^\circ - 28^\circ - 28^\circ = 124^\circ \] 2. Áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \): \[ \frac{BC}{\sin \widehat{CAB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ACB}} \] 3. Tính \( AC \) bằng cách sử dụng tam giác vuông \( ACD \): \[ AC = \frac{AD}{\cos \widehat{CAB}} = \frac{10}{\cos 28^\circ} \] 4. Thay vào công thức định lý sin: \[ \frac{BC}{\sin 28^\circ} = \frac{\frac{10}{\cos 28^\circ}}{\sin 124^\circ} \] 5. Tính \( BC \): \[ BC = \frac{10 \cdot \sin 28^\circ}{\cos 28^\circ \cdot \sin 124^\circ} \] 6. Sử dụng máy tính để tính toán: \[ BC \approx 12,06 \text{ km} \] Vậy khoảng cách \( BC \) là 12,06 km. Đáp án đúng là A. 12,06 km. Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các khả năng của đường thẳng \( d \) khi nó đi qua điểm \( A \) nằm trên đường tròn \((O)\). 1. Khả năng A: \( d \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \( A \): - Định nghĩa: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm nếu nó chỉ tiếp xúc với đường tròn tại điểm đó và không cắt đường tròn tại bất kỳ điểm nào khác. - Vì \( d \) đi qua \( A \) và tiếp xúc với \((O)\) tại \( A \), nên \( d \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \( A \). 2. Khả năng B: \( d \) cắt \((O)\) tại hai điểm phân biệt: - Để \( d \) cắt \((O)\) tại hai điểm phân biệt, nó phải đi qua hai điểm khác nhau trên đường tròn. - Tuy nhiên, vì \( d \) chỉ tiếp xúc với \((O)\) tại \( A \), nên nó không thể cắt \((O)\) tại hai điểm phân biệt. 3. Khả năng C: \( d \) tiếp xúc với \((O)\) tại \( O \): - Để \( d \) tiếp xúc với \((O)\) tại \( O \), \( O \) phải là điểm tiếp xúc duy nhất. - Tuy nhiên, \( d \) tiếp xúc với \((O)\) tại \( A \), không phải tại \( O \). 4. Khả năng D: Cả A, B, C đều sai: - Như đã phân tích ở trên, khả năng A là đúng, do đó khả năng D là sai. Kết luận: Đáp án đúng là A. \( d \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \( A \). Bài 1: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) a) Thay \( x = 25 \) vào biểu thức \( A \): \( A = \frac{2\sqrt{25} - 1}{\sqrt{25} - 1} = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5 - 1} = \frac{10 - 1}{4} = \frac{9}{4} \) Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 25 \) là \( \frac{9}{4} \). b) Rút gọn biểu thức \( B \): \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{6\sqrt{x} - 4}{x - 1} \) Quy đồng mẫu số chung của các phân số: \( B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + 3(\sqrt{x} - 1) - (6\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \) \( B = \frac{x + \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 - 6\sqrt{x} + 4}{x - 1} \) \( B = \frac{x + \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 - 6\sqrt{x} + 4}{x - 1} \) \( B = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \) \( B = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \) \( B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \) Vậy biểu thức \( B \) rút gọn là \( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \). c) Để \( B \) nguyên, ta có: \( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \) là số nguyên. Đặt \( \sqrt{x} = t \), ta có: \( \frac{t - 1}{t + 1} \) là số nguyên. Ta có: \( \frac{t - 1}{t + 1} = 1 - \frac{2}{t + 1} \) Để \( \frac{t - 1}{t + 1} \) là số nguyên, \( \frac{2}{t + 1} \) cũng phải là số nguyên. Do đó, \( t + 1 \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là: 1, -1, 2, -2. Ta có: \( t + 1 = 1 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow x = 0 \) \( t + 1 = -1 \Rightarrow t = -2 \Rightarrow x = 4 \) \( t + 1 = 2 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow x = 1 \) \( t + 1 = -2 \Rightarrow t = -3 \Rightarrow x = 9 \) Vậy các giá trị của \( x \) để \( B \) nguyên là: 0, 4, 1, 9. Bài 2: a. Điều kiện xác định: \( x>0,x\neq 1 \) Ta có: \( P=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x+2}{(\sqrt{x})^{3}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x+2+x(\sqrt{x}-1)-x-\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x+2+x\sqrt{x}-x-x-\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\left( \frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2} \) \( =\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1} \) \( =\frac{2}{x+\sqrt{x}+1} \) b. Với \( x=7-4\sqrt{3} \) ta có: \( P=\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+1} \) \( =\frac{2}{8-4\sqrt{3}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}} \) \( =\frac{2}{8-4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}} \) \( =\frac{2}{10-5\sqrt{3}} \) \( =\frac{2}{5(2-\sqrt{3})} \) \( =\frac{2(2+\sqrt{3})}{5(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} \) \( =\frac{2(2+\sqrt{3})}{5(4-3)} \) \( =\frac{2(2+\sqrt{3})}{5} \) \( =\frac{4+2\sqrt{3}}{5} \) Bài 3: Gọi số trận thắng của đội Arsenal là x (trận, điều kiện: 0 < x ≤ 38) Số trận hòa của đội Arsenal là 38 - x (trận) Số điểm mà đội Arsenal nhận được từ các trận thắng là 3x (điểm) Số điểm mà đội Arsenal nhận được từ các trận hòa là 1 × (38 - x) = 38 - x (điểm) Tổng số điểm mà đội Arsenal nhận được là 3x + 38 - x = 2x + 38 (điểm) Theo đề bài, tổng số điểm mà đội Arsenal nhận được là 90 điểm, nên ta có phương trình: 2x + 38 = 90 Giải phương trình này: 2x = 90 - 38 2x = 52 x = 26 Vậy đội Arsenal đã giành được 26 trận thắng. Bài 4: Điều kiện xác định: \( y \neq 1 \). Đặt \( u = \frac{1}{y-1} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \begin{cases} 2x + 3u = 5 \\ 4x - u = 3 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 3: \[ \begin{cases} 2x + 3u = 5 \\ 12x - 3u = 9 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ 14x = 14 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 4x - u = 3 \): \[ 4(1) - u = 3 \] \[ 4 - u = 3 \] \[ u = 1 \] Do \( u = \frac{1}{y-1} \), ta có: \[ \frac{1}{y-1} = 1 \] \[ y - 1 = 1 \] \[ y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( y = 2 \). Bài 5: Để giải bài toán này, ta sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định tam giác vuông: - Gọi \( A \) là đỉnh ngọn đèn, \( B \) là chân đèn (ở mực nước biển), và \( C \) là vị trí của hòn đảo. - Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( B \) với \( AB = 35 \) m (chiều cao ngọn đèn). 2. Sử dụng tỉ số lượng giác: - Góc \( \angle ACB = 30^\circ \). - Ta cần tìm \( BC \), là khoảng cách từ đảo đến chân đèn. - Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: \[ \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \] - Biết rằng \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{35}{BC} \] 3. Giải phương trình: - Nhân chéo để tìm \( BC \): \[ BC = 35 \times \sqrt{3} \] 4. Kết luận: - Khoảng cách từ đảo đến chân đèn là \( 35\sqrt{3} \) mét. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. Để chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH, ta cần chứng minh rằng BC vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm tiếp xúc. - Đường tròn có tâm O và đường kính AH, do đó bán kính của đường tròn là \( \frac{AH}{2} \). - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên \( \angle BAC = 90^\circ \). - Đường cao AH vuông góc với BC, do đó \( \angle AHB = 90^\circ \). - Vì AH là đường kính của đường tròn, nên theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Do đó, \( \angle AHB = 90^\circ \). Vì \( \angle AHB = 90^\circ \), BC vuông góc với AH tại H, nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. b) ADHE là hình gì? Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng. - Để xác định hình dạng của tứ giác ADHE, ta cần xem xét các góc của nó. - Vì D và E lần lượt nằm trên AB và AC, và đường tròn có đường kính AH, nên \( \angle ADE = \angle AHE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, tứ giác ADHE có hai góc đối diện là góc vuông, nên ADHE là hình chữ nhật. Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng: - Ta đã biết rằng \( \angle ADE = 90^\circ \) và \( \angle AHE = 90^\circ \). - Vì O là tâm của đường tròn đường kính AH, nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE. - Do đó, D, O, E thẳng hàng vì O là trung điểm của đoạn thẳng DE trong hình chữ nhật ADHE. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.