Câu $\rm 3$.

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh $(MNG)//(SCD)$ 1. Xác định các điểm trọng tâm và trung điểm: - H là trung điểm của AB, do đó $H\left(a, 0, 0\right)$. - M là trọng tâm của $\Delta SAD$, do đó $M\left(\frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{0 + 0 + a\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$. - N là trọng tâm của $\Delta SBC$, do đó $N\left(\frac{0 + 2a + a}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{a\sqrt{3} + 0 + 0}{3}\right) = \left(a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$. - K là trung điểm của CD, do đó $K\left(\frac{2a + 2a}{2}, \frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(2a, \frac{a}{2}, 0\right)$. - G là trọng tâm của $\Delta HCD$, do đó $G\left(\frac{a + 2a + 2a}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{5a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)$. 2. Chứng minh $(MNG)//(SCD)$: - Ta cần chứng minh rằng các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng $(MNG)$ và $(SCD)$ là song song. - Vector pháp tuyến của $(SCD)$ là vector $\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD}$. - Vector pháp tuyến của $(MNG)$ là vector $\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MG}$. - Tính các vector: - $\overrightarrow{SC} = (2a, 0, 0) - (0, 0, a\sqrt{3}) = (2a, 0, -a\sqrt{3})$. - $\overrightarrow{SD} = (2a, a, 0) - (0, 0, a\sqrt{3}) = (2a, a, -a\sqrt{3})$. - $\overrightarrow{MN} = (a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{3}) - (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}) = (\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}, 0)$. - $\overrightarrow{MG} = (\frac{5a}{3}, \frac{a}{3}, 0) - (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}) = (a, 0, -\frac{a\sqrt{3}}{3})$. - Tính tích có hướng: - $\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a, 0, -a\sqrt{3}) \times (2a, a, -a\sqrt{3}) = (a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2)$. - $\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MG} = (\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}, 0) \times (a, 0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}) = (a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2)$. - Hai vector pháp tuyến này bằng nhau, do đó $(MNG)//(SCD)$. b) Tính góc giữa AC và (SAD) 1. Xác định vector và mặt phẳng: - Vector $\overrightarrow{AC} = (2a, 0, 0)$. - Vector pháp tuyến của $(SAD)$ là $\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD}$. - $\overrightarrow{SA} = (0, 0, a\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{SD} = (2a, a, 0)$. - $\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD} = (a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2)$. 2. Tính góc: - Góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $(SAD)$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và vector pháp tuyến của $(SAD)$. - $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$. - $\overrightarrow{n} = (a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2)$. - $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} = 2a \cdot a^2\sqrt{3} = 2a^3\sqrt{3}$. - $|\overrightarrow{AC}| = 2a$, $|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{12}$. - $\cos \theta = \frac{2a^3\sqrt{3}}{2a \cdot a^2\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2}$. - Do đó, góc giữa AC và $(SAD)$ là $60^\circ$. c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MNI) 1. Xác định mặt phẳng (MNI): - Vector pháp tuyến của $(MNI)$ là $\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MI}$. - $\overrightarrow{MI} = (a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{3}) - (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}) = (\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}, 0)$. - $\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MI} = (a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2)$. 2. Tính khoảng cách: - Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MNI) là $\frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. - Phương trình mặt phẳng (MNI) là $a^2\sqrt{3}x + 2a^2\sqrt{3}y + 2a^2z = 0$. - Điểm D có tọa độ $(2a, a, 0)$. - Khoảng cách $d = \frac{|a^2\sqrt{3} \cdot 2a + 2a^2\sqrt{3} \cdot a + 2a^2 \cdot 0|}{\sqrt{(a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2}} = \frac{6a^3\sqrt{3}}{a^2\sqrt{12}} = \frac{6a\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = a\sqrt{3}$. Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MNI) là $a\sqrt{3}$.