giúp mình với

Câu 1: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2024}{x-1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2024}{x-1} \] Khi \( x \) tiến đến \( +\infty \), mẫu số \( x-1 \) cũng tiến đến \( +\infty \). Do đó, phân số \( \frac{2024}{x-1} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2024}{x-1} = 0 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2024}{x-1} \] Khi \( x \) tiến đến \( -\infty \), mẫu số \( x-1 \) cũng tiến đến \( -\infty \). Do đó, phân số \( \frac{2024}{x-1} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2024}{x-1} = 0 \] Vì cả hai giới hạn đều bằng 0, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2024}{x-1} \) là đường thẳng \( y = 0 \). Đáp án đúng là: \( D.~y=0 \). Câu 2: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} \) đồng biến, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ x^2 - 2x \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x(x - 2) \geq 0 \] Ta có các nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \] 2. Tính đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} \) có thể viết lại thành: \[ y = (x^2 - 2x)^{1/2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: \[ y' = \frac{1}{2}(x^2 - 2x)^{-1/2} \cdot (2x - 2) \] \[ y' = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \] \[ y' = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x}} \] 3. Xác định khoảng đồng biến: Hàm số đồng biến khi đạo hàm \( y' > 0 \): \[ \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x}} > 0 \] Ta xét dấu của tử số và mẫu số: - Tử số \( x - 1 > 0 \) khi \( x > 1 \) - Mẫu số \( \sqrt{x^2 - 2x} > 0 \) khi \( x^2 - 2x > 0 \), tức là \( x < 0 \) hoặc \( x > 2 \) Kết hợp các điều kiện này, ta có: - Khi \( x > 2 \), cả tử số và mẫu số đều dương, nên \( y' > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \). Kết luận: Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} \) đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \). Đáp án đúng là: \( A.~(2;+\infty) \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 2]\) dựa vào bảng biến thiên đã cho. Bước 1: Xác định các điểm cần xét Trên đoạn \([-1; 2]\), ta cần xét các điểm: - Các điểm đầu mút: \( x = -1 \) và \( x = 2 \). - Các điểm mà đạo hàm \( f'(x) = 0 \) hoặc không xác định trong đoạn này: \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã xác định Dựa vào bảng biến thiên: - \( f(-1) = 3 \) - \( f(0) = 0 \) - \( f(1) = 2 \) - \( f(2) = 1 \) Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất \( M = 3 \) tại \( x = -1 \). - Giá trị nhỏ nhất \( m = 0 \) tại \( x = 0 \). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( 5M - 2m \) \[ 5M - 2m = 5 \times 3 - 2 \times 0 = 15 \] Vậy, giá trị của \( 5M - 2m \) là 15. Đáp án đúng là A. 15. Câu 4: Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được cho bởi đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tức là v(t) = s'(t). Ta có: \[ s(t) = -t^3 + 6t^2 \] Tính đạo hàm của s(t): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2) = -3t^2 + 12t \] Tại thời điểm \( t = 2 \): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) = -3(4) + 24 = -12 + 24 = 12 \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t = 2 \) là 12. Đáp án đúng là: D. 12. Câu 5: Để xác định đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tính chất của hàm số: - Đây là hàm bậc ba với hệ số của \( x^3 \) là âm, do đó đồ thị sẽ có dạng đi xuống từ trái qua phải. 2. Tìm điểm cắt trục tung: - Khi \( x = 0 \), \( y = 1 \). Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm \( (0, 1) \). 3. Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm: - Đạo hàm của hàm số là \( y' = -3x^2 + 4x - 2 \). - Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ -3x^2 + 4x - 2 = 0 \] \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 16 - 24 = -8 \] - Phương trình vô nghiệm, do đó hàm số không có cực trị. 4. Xét giới hạn: - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \). - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). 5. Kết luận: - Đồ thị đi từ góc phần tư thứ hai xuống góc phần tư thứ tư, cắt trục tung tại \( (0, 1) \). Dựa vào các phân tích trên, đồ thị phù hợp là hình B. Câu 6: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên $\mathbb{R}$, chúng ta cần kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số bằng cách xét đạo hàm của chúng. A. $y = \frac{x+1}{x-2}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$ Đạo hàm: \[ y' = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Do $(x-2)^2 > 0$ với mọi $x \neq 2$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq 2$. Vậy hàm số này nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, 2)$ và $(2, +\infty)$. B. $y = x^2 + 2x$ Đạo hàm: \[ y' = 2x + 2 \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \] - Với $x < -1$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Với $x > -1$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số này không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = x^3 - x^2 + x$ Đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 2x + 1 \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 3x^2 - 2x + 1 \] Ta thấy $3x^2 - 2x + 1$ là một tam thức bậc hai có biệt thức $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$. Do đó, $3x^2 - 2x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, tức là hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = x^4 - 3x^2 + 2$ Đạo hàm: \[ y' = 4x^3 - 6x \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 0 \implies 4x^3 - 6x = 0 \implies 2x(2x^2 - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] - Với $x < -\sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Với $-\sqrt{\frac{3}{2}} < x < 0$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) - Với $0 < x < \sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Với $x > \sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số này không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết luận: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y = x^3 - x^2 + x$. Đáp án: C. $y = x^3 - x^2 + x$