Phần $\rm a)$.

Để chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \) có thể biểu diễn dưới dạng \( n = a + b \), trong đó \( a \) là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với \( m \) và \( b \) là một số nguyên sao cho \( b^2 \equiv b \pmod{m} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tính chất của \( b \): - Ta cần \( b \) thỏa mãn \( b^2 \equiv b \pmod{m} \). Điều này tương đương với \( b(b-1) \equiv 0 \pmod{m} \). - Điều này có nghĩa là \( b \) hoặc \( b-1 \) phải chia hết cho \( m \). 2. Chọn \( b \): - Ta chọn \( b \) sao cho \( b \equiv 0 \pmod{m} \) hoặc \( b \equiv 1 \pmod{m} \). - Nếu \( b \equiv 0 \pmod{m} \), thì \( b = km \) với \( k \) là một số nguyên. - Nếu \( b \equiv 1 \pmod{m} \), thì \( b = km + 1 \) với \( k \) là một số nguyên. 3. Biểu diễn \( n \) dưới dạng \( n = a + b \): - Ta cần tìm \( a \) sao cho \( a \) nguyên tố cùng nhau với \( m \) và \( n = a + b \). - Giả sử \( n \) là một số nguyên bất kỳ. Ta có thể viết \( n \) dưới dạng \( n = qm + r \) với \( 0 \leq r < m \). 4. Chọn \( a \) và \( b \): - Ta chọn \( b = r \) nếu \( r \) thỏa mãn \( b^2 \equiv b \pmod{m} \). - Nếu \( r \) không thỏa mãn, ta chọn \( b = r - km \) sao cho \( b \) vẫn thỏa mãn \( b^2 \equiv b \pmod{m} \). 5. Kiểm tra tính nguyên tố cùng nhau của \( a \): - Ta cần kiểm tra rằng \( a = n - b \) nguyên tố cùng nhau với \( m \). - Vì \( b \) đã được chọn sao cho \( b^2 \equiv b \pmod{m} \), nên \( a \) sẽ nguyên tố cùng nhau với \( m \). Vậy, ta đã chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \) có thể biểu diễn dưới dạng \( n = a + b \), trong đó \( a \) là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với \( m \) và \( b \) là một số nguyên sao cho \( b^2 \equiv b \pmod{m} \).