giải giúp em cả đề ạ

Câu 2: a) Đúng. Vì \(\tan x\) không xác định khi \(\cos x = 0\), tức là \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, tập xác định của \(f(x)\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\). b) Sai. Chu kỳ cơ bản của \(\tan x\) là \(\pi\), không phải \(2\pi\). Do đó, hàm số \(f(x)\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\). c) Đúng. Vì \(\cot x\) không xác định khi \(\sin x = 0\), tức là \(x = k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, tập xác định của \(g(x)\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\). d) Đúng. Trên khoảng \((- \pi; -\frac{\pi}{2})\), \(\tan x > 0\) vì \(\tan x\) dương trong khoảng này. Câu 3: a) Đúng. Vì hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ thì $5\cos x-12\sin x+2024-2m\geq0$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ b) Đúng. Ta có $5\cos x-12\sin x=13(\frac{5}{13}\cos x-\frac{12}{13}\sin x)=13\cos(x+\alpha)$ với $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha=\frac{5}{13},\sin \alpha=\frac{12}{13}$. Suy ra $5\cos x-12\sin x+2024$ có giá trị nhỏ nhất là $2024-13=2011.$ c) Sai. Hàm số $y=\sqrt{5\cos x-12\sin x+2024-2m}$ xác định trên $\mathbb{R}$ thì $5\cos x-12\sin x+2024-2m\geq0$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Do đó $2m\leq \min_{\mathbb{R}}(5\cos x-12\sin x+2024)=2011.$ d) Đúng. Ta có $2m\leq 2011$ suy ra $m\leq 1005,5.$ Vậy có tất cả 1005 số nguyên dương m để hàm số $y=\sqrt{5\cos x-12\sin x+2024-2m}$ xác định trên $\mathbb{R}.$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: Tọa độ các đỉnh của tam giác \( \Delta OAB \) là \( O(0;0) \), \( A(x_A; \sin x_A) \), \( B(x_B; \cos x_B) \) với \( x_A \in [0; 2\pi] \). Nhận xét: Mệnh đề này đúng vì: - Điểm \( O \) là gốc tọa độ nên có tọa độ \( (0;0) \). - Điểm \( A \) nằm trên đồ thị hàm số \( y = \sin x \) nên có tọa độ \( (x_A; \sin x_A) \). - Điểm \( B \) nằm trên đồ thị hàm số \( y = \cos x \) nên có tọa độ \( (x_B; \cos x_B) \). Mệnh đề b: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_A + x_B + x_O = x_G \\ y_A + y_B + y_O = y_G \end{array} \right. \] Nhận xét: Mệnh đề này đúng vì: - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( OAB \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + 0}{3} = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x_A + x_B = \pi \] \[ y_G = \frac{\sin x_A + \cos x_B + 0}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin x_A + \cos x_B = \sqrt{2} \] Mệnh đề c: \(\sin x_A + \cos x_B = \sqrt{2}\). Nhận xét: Mệnh đề này đúng vì đã được chứng minh ở trên. Mệnh đề d: Diện tích \( \Delta OAB \) bằng \( \frac{\pi \sqrt{2}}{8} \). Nhận xét: Diện tích tam giác \( OAB \) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_A \cos x_B - x_B \sin x_A \right| \] Thay \( x_B = \pi - x_A \) vào, ta có: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_A \cos(\pi - x_A) - (\pi - x_A) \sin x_A \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| x_A (-\cos x_A) - (\pi - x_A) \sin x_A \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -x_A \cos x_A - \pi \sin x_A + x_A \sin x_A \right| \] Để tính chính xác diện tích, cần thêm thông tin hoặc tính toán cụ thể hơn. Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, không thể khẳng định diện tích là \( \frac{\pi \sqrt{2}}{8} \) mà không có thêm dữ liệu hoặc tính toán chi tiết hơn. Kết luận: Mệnh đề a, b, c đúng. Mệnh đề d cần thêm thông tin để xác định. Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \cos 2x - \sin x - 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi hàm số: Ta biết rằng \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \). Thay vào hàm số, ta có: \[ y = 1 - 2\sin^2 x - \sin x - 3 \] \[ y = -2\sin^2 x - \sin x - 2 \] 2. Đặt biến mới: Đặt \( t = \sin x \). Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( t \in [-1, 1] \). Hàm số trở thành: \[ y = -2t^2 - t - 2 \] 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số \( y = -2t^2 - t - 2 \) trên đoạn \([-1, 1]\): Đây là hàm bậc hai có dạng \( y = at^2 + bt + c \) với \( a = -2 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). - Tìm đỉnh của parabol: Đỉnh của parabol \( y = at^2 + bt + c \) nằm tại \( t = -\frac{b}{2a} \): \[ t = -\frac{-1}{2(-2)} = \frac{1}{4} \] Vì \( \frac{1}{4} \) nằm trong đoạn \([-1, 1]\), ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại \( t = \frac{1}{4} \). - Giá trị tại đỉnh: \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = -2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} - 2 \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 2 \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 2 \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{16}{8} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{19}{8} \] - Giá trị tại các đầu mút: \[ y(-1) = -2(-1)^2 - (-1) - 2 = -2 + 1 - 2 = -3 \] \[ y(1) = -2(1)^2 - 1 - 2 = -2 - 1 - 2 = -5 \] 4. So sánh các giá trị: - Tại \( t = \frac{1}{4} \): \( y = -\frac{19}{8} \) - Tại \( t = -1 \): \( y = -3 \) - Tại \( t = 1 \): \( y = -5 \) Vậy, giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là \( -\frac{19}{8} \) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là \( -5 \). 5. Tính giá trị của biểu thức \( T = 8M - m \): \[ M = -\frac{19}{8}, \quad m = -5 \] \[ T = 8 \left(-\frac{19}{8}\right) - (-5) \] \[ T = -19 + 5 \] \[ T = -14 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{-14} \] Câu 2: Để tìm ngày mà thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( d(t) = 3 \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) + 12 \). Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số Hàm số \( d(t) \) có dạng \( d(t) = 3 \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) + 12 \). Trong đó, hàm số \( \sin(x) \) có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, ta có: \[ -1 \leq \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) \leq 1 \] Nhân cả hai vế với 3, ta được: \[ -3 \leq 3 \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) \leq 3 \] Cộng 12 vào cả hai vế, ta có: \[ 9 \leq 3 \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) + 12 \leq 15 \] Vậy, giá trị của \( d(t) \) nằm trong khoảng từ 9 đến 15. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Giá trị lớn nhất của \( d(t) \) là 15, xảy ra khi: \[ 3 \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) = 3 \] Điều này tương đương với: \[ \sin \left( \frac{\pi}{182}(t-80) \right) = 1 \] Hàm số \( \sin(x) = 1 \) khi \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 3: Giải phương trình Ta có: \[ \frac{\pi}{182}(t-80) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\), ta được: \[ \frac{t-80}{182} = \frac{1}{2} + 2k \] Nhân cả hai vế với 182, ta có: \[ t - 80 = 91 + 364k \] \[ t = 171 + 364k \] Bước 4: Xác định giá trị của \( t \) Vì \( 0 < t \leq 365 \), ta cần tìm \( k \) sao cho \( 0 < 171 + 364k \leq 365 \). - Với \( k = 0 \), ta có \( t = 171 \). - Với \( k = 1 \), ta có \( t = 535 \), không thỏa mãn điều kiện \( t \leq 365 \). Vậy, ngày mà thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất là ngày thứ 171 trong năm. Kết luận Thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất vào ngày thứ 171 trong năm. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về dao động điều hòa. Dao động điều hòa là một dạng chuyển động mà vị trí của vật dao động được mô tả bằng một hàm sin hoặc cos theo thời gian. Công thức tổng quát cho vị trí của một chất điểm dao động điều hòa là: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] hoặc \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) \] Trong đó: - \( x(t) \) là vị trí của chất điểm tại thời điểm \( t \). - \( A \) là biên độ dao động, tức là độ lệch lớn nhất của chất điểm so với vị trí cân bằng. - \( \omega \) là tần số góc, đơn vị là rad/s. - \( \varphi \) là pha ban đầu, đơn vị là rad. Để xác định vị trí của chất điểm tại thời điểm \( t \), chúng ta cần biết các thông số \( A \), \( \omega \), và \( \varphi \). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp các thông số này, nên chúng ta không thể tính toán cụ thể vị trí của chất điểm tại thời điểm \( t \). Nếu đề bài có cung cấp thêm thông tin về biên độ, tần số góc, và pha ban đầu, chúng ta có thể thay thế các giá trị đó vào công thức để tìm vị trí \( x(t) \). Nếu bạn có thêm thông tin hoặc dữ liệu cụ thể từ trang 13, 174 mà bạn đề cập, vui lòng cung cấp để tôi có thể giúp bạn chi tiết hơn.