Phần $\rm b)$.

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp: - Với \( n = 1 \): \[ 2u_2 = 0 \cdot u_1 - (-1)u_0 = 1 \Rightarrow u_2 = \frac{1}{2}. \] Do đó: \[ 2u_2 - u_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0. \] Như vậy, mệnh đề đã cho đúng với \( n = 1 \). - Giả sử mệnh đề đã cho đúng với \( n = k \), tức là: \[ (k + 1)u_{k + 1} - u_k = 0. \] - Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \( n = k + 1 \), tức là: \[ (k + 2)u_{k + 2} - u_{k + 1} = 0. \] Từ giả thiết quy nạp, ta có: \[ (k + 1)u_{k + 1} = u_k. \] Theo công thức truy hồi của dãy số, ta có: \[ (k + 1)(k + 2)u_{k + 2} = (k + 1)ku_{k + 1} - ku_k. \] Thay \( (k + 1)u_{k + 1} = u_k \) vào, ta được: \[ (k + 1)(k + 2)u_{k + 2} = (k + 1)ku_{k + 1} - k(k + 1)u_{k + 1} = 0. \] Do đó: \[ (k + 2)u_{k + 2} = u_{k + 1}. \] Vậy: \[ (k + 2)u_{k + 2} - u_{k + 1} = 0. \] Như vậy, mệnh đề đã cho đúng với \( n = k + 1 \). Theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi \( n \geq 1 \). Bây giờ, ta sẽ tính tổng \( S = \frac{u_0}{u_1} + \frac{u_1}{u_2} + \cdots + \frac{u_{2020}}{u_{2021}} \). Từ kết quả trên, ta có: \[ (n + 1)u_{n + 1} = u_n \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n + 1}} = n + 1. \] Do đó: \[ S = \frac{u_0}{u_1} + \frac{u_1}{u_2} + \cdots + \frac{u_{2020}}{u_{2021}} = 1 + 2 + \cdots + 2021. \] Tổng của dãy số này là: \[ S = \frac{2021 \cdot 2022}{2} = 2043231. \] Vậy tổng \( S \) là \( 2043231 \).