9 Giúp mình với! Một vòng quay trò chơi có bán kính 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay,đều mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách h (m) từ một,cabin gắn tại điểm A của vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức:,$h(t)=57\sin(\frac{2\pi}{15}t-\frac\pi2)+57,5$,với t là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút,,$(t\geq0)$ (Hình 12).,a) Tính chu kì của hàm số h(t)?,b) Khi $t=0$ (phút) thì khoảng cách từ cabin đến,mặt đất bằng bao nhiêu?,c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm,$t=0$ (phút), tại thời điểm nào của t thì cabin ở vị trí,cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?

Question

9 Giúp mình với! Một vòng quay trò chơi có bán kính 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay,đều mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách h (m) từ một,cabin gắn tại điểm A của vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức:,$h(t)=57\sin(\frac{2\pi}{15}t-\frac\pi2)+57,5$,với t là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/18e5c036923a499e8ccceb8b33bbd25b.jpg />,$(t\geq0)$ (Hình 12).,a) Tính chu kì của hàm số h(t)?,b) Khi $t=0$ (phút) thì khoảng cách từ cabin đến,mặt đất bằng bao nhiêu?,c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm,$t=0$ (phút), tại thời điểm nào của t thì cabin ở vị trí,cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Tính chu kì của hàm số $ h(t) $:

Hàm số $ h(t) = 57\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) + 57,5 $ có dạng $ a\sin\left(\omega t + \varphi\right) + b $.

Chu kì của hàm số sin là $ T = \frac{2\pi}{\omega} $.

Ở đây, $ \omega = \frac{2\pi}{15} $, do đó chu kì $ T = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{15}} = 15 $ phút.

b) Khi $ t = 0 $ (phút), khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng bao nhiêu?

Thay $ t = 0 $ vào hàm số $ h(t) $:

$$
h(0) = 57\sin\left(\frac{2\pi}{15} \times 0 - \frac{\pi}{2}\right) + 57,5 = 57\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 57,5
$$

Ta biết $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, do đó:

$$
h(0) = 57 \times (-1) + 57,5 = -57 + 57,5 = 0,5 \text{ m}
$$

c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm $ t=0 $ (phút), tại thời điểm nào của $ t $ thì cabin ở vị trí cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?

- Vị trí cao nhất:

Vị trí cao nhất của hàm số sin là khi giá trị của sin đạt 1. Do đó, ta cần giải phương trình:

$$
\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) = 1
$$

Điều này xảy ra khi:

$$
\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

Giải phương trình:

$$
\frac{2\pi}{15}t = \pi + 2k\pi
$$

$$
t = \frac{15}{2} + 15k
$$

Với $ k = 0 $, ta có $ t = \frac{15}{2} = 7,5 $ phút.

- Chiều cao 86 m:

Giải phương trình:

$$
57\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) + 57,5 = 86
$$

$$
57\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) = 86 - 57,5 = 28,5
$$

$$
\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{28,5}{57} = \frac{1}{2}
$$

Điều này xảy ra khi:

$$
\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
$$

Giải phương trình:

1. $\frac{2\pi}{15}t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

$$
t = \frac{15}{2} \times \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) + 15k = \frac{15}{2} \times \frac{2}{3} + 15k = 5 + 15k
$$

2. $\frac{2\pi}{15}t = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

$$
t = \frac{15}{2} \times \left(\frac{5}{6} + \frac{1}{2}\right) + 15k = \frac{15}{2} \times \frac{4}{3} + 15k = 10 + 15k
$$

Với $ k = 0 $, ta có $ t = 5 $ phút hoặc $ t = 10 $ phút.

Vậy, cabin đạt chiều cao 86 m tại $ t = 5 $ phút và $ t = 10 $ phút.