Câu $\rm 8.$

Câu 8: Để ba số \(a\), \(b\), và \(c\) lập thành một cấp số cộng, chúng ta cần có điều kiện: \[ b - a = c - b \] hay tương đương: \[ 2b = a + c \] Bây giờ, chúng ta sẽ đếm số cách chọn ba số \(a\), \(b\), và \(c\) từ dãy số \(\{1, 2, 3, \ldots, 2019\}\) sao cho \(2b = a + c\). 1. Xác định điều kiện cho \(b\): - \(b\) phải nằm giữa \(a\) và \(c\), tức là \(a < b < c\). - \(b\) phải là trung bình cộng của \(a\) và \(c\), tức là \(2b = a + c\). 2. Xác định phạm vi của \(b\): - \(b\) phải nằm trong khoảng từ 2 đến 2018 (vì \(a\) và \(c\) phải khác \(b\) và nằm trong dãy số từ 1 đến 2019). 3. Đếm số cặp \((a, c)\) ứng với mỗi \(b\): - Với mỗi \(b\) cố định, \(a\) và \(c\) phải thỏa mãn \(a < b < c\) và \(2b = a + c\). - Điều này có nghĩa là \(a\) và \(c\) phải đối xứng quanh \(b\). Cụ thể, nếu \(a = b - k\), thì \(c = b + k\) với \(k\) là một số nguyên dương. 4. Tính số cặp \((a, c)\) ứng với mỗi \(b\): - Số cặp \((a, c)\) ứng với mỗi \(b\) là số các giá trị \(k\) sao cho \(b - k \geq 1\) và \(b + k \leq 2019\). - Điều này có nghĩa là \(k\) phải nằm trong khoảng từ 1 đến \(b-1\) (vì \(a\) phải lớn hơn hoặc bằng 1) và từ 1 đến \(2019 - b\) (vì \(c\) phải nhỏ hơn hoặc bằng 2019). 5. Tổng hợp số cách chọn: - Tổng số cách chọn ba số \(a\), \(b\), và \(c\) là tổng số cặp \((a, c)\) ứng với mỗi \(b\) từ 2 đến 2018. - Số cặp \((a, c)\) ứng với mỗi \(b\) là \(b-1\) (vì \(k\) có thể lấy các giá trị từ 1 đến \(b-1\)). 6. Tính tổng: - Tổng số cách chọn là: \[ \sum_{b=2}^{2018} (b-1) = \sum_{k=1}^{2017} k = \frac{2017 \cdot 2018}{2} \] 7. Kết quả cuối cùng: - Tổng số cách chọn ba số \(a\), \(b\), và \(c\) để lập thành cấp số cộng là: \[ \frac{2017 \cdot 2018}{2} = 2035153 \] Vậy, có tất cả 2035153 cách chọn ba số \(a\), \(b\), và \(c\) từ dãy số \(\{1, 2, 3, \ldots, 2019\}\) để ba số đó lập thành cấp số cộng.