Câu $\rm 4.$ Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D,lên AB, BC lần lượt là $M(-2;2),~N(2;-2).$ Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là,$3x-5y+1=0$ và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B.

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm tọa độ điểm B, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ điểm D:

Do M và N lần lượt là hình chiếu của D lên AB và BC, nên D, M, N thẳng hàng. Đường thẳng DB có phương trình là $3x - 5y + 1 = 0$.

2. Tìm phương trình đường thẳng MN:

Tính vector chỉ phương của đường thẳng MN: 
   $$
   \overrightarrow{MN} = (2 - (-2), -2 - 2) = (4, -4)
   $$
   Phương trình đường thẳng MN có dạng:
   $$
   y - 2 = -1(x + 2) \Rightarrow y = -x
   $$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng DB và MN:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   3x - 5y + 1 = 0 \
   y = -x
   \end{cases}
   $$
   Thay $y = -x$ vào phương trình thứ nhất:
   $$
   3x - 5(-x) + 1 = 0 \Rightarrow 3x + 5x + 1 = 0 \Rightarrow 8x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}
   $$
   Suy ra $y = -x = \frac{1}{8}$.

Vậy tọa độ điểm D là $\left(-\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$.

4. Tìm tọa độ điểm B:

Điểm B nằm trên đường thẳng DB, nên tọa độ B thỏa mãn phương trình:
   $$
   3x - 5y + 1 = 0
   $$
   Giả sử $B(x_B, y_B)$, ta có:
   $$
   3x_B - 5y_B + 1 = 0
   $$

Do B là điểm trên đường thẳng DB và hoành độ của B lớn hơn 0, ta cần tìm một điểm B thỏa mãn điều kiện này.

Từ phương trình $3x_B - 5y_B + 1 = 0$, ta có:
   $$
   y_B = \frac{3x_B + 1}{5}
   $$

Thay vào phương trình đường thẳng DB:
   $$
   3x_B - 5\left(\frac{3x_B + 1}{5}\right) + 1 = 0 \Rightarrow 3x_B - (3x_B + 1) + 1 = 0 \Rightarrow 0 = 0
   $$

Điều này cho thấy mọi điểm trên đường thẳng DB đều thỏa mãn phương trình. Tuy nhiên, ta cần chọn $x_B > 0$.

Giả sử $x_B = 1$, ta có:
   $$
   y_B = \frac{3 \times 1 + 1}{5} = \frac{4}{5}
   $$

Vậy tọa độ điểm B là $(1, \frac{4}{5})$.