Cho một thấu kính hội tụ có tiêu cự 20cm, màn ảnh E ở sau thấu kính, vuông góc với trục chính. Thấu kính và màn E có thể dịch chuyển dọc theo trục chính của thấu kính. 1. Đặt một vật sáng AB vuông góc...

Cho thấu kính hội tụ có tiêu cự \( f = 20 \text{ cm} \). **Câu 1:** Vật AB đặt trước thấu kính cách \( d = 30 \text{ cm} \). - Ta gọi khoảng cách ảnh đến thấu kính là \( d' \). - Công thức thấu kính: \(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} \) Tính \( d' \): \[ \frac{1}{d'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60} \] Vậy: \[ d' = 60 \text{ cm} \] Vậy để có ảnh rõ nét, màn E phải đặt cách thấu kính 60 cm về phía sau. - Tính tỉ số phóng đại \( k = \frac{h'}{h} = -\frac{d'}{d} = -\frac{60}{30} = -2 \) Dấu âm nghĩa là ảnh ngược chiều so với vật. **Kết luận câu 1:** - Màn E đặt cách thấu kính 60 cm về phía sau. - Tỉ số chiều cao ảnh và vật: \( k = -2 \) (ảnh lớn gấp 2 lần và ngược chiều vật). --- **Câu 2:** - Điểm sáng S trên trục chính, cách thấu kính 20 cm. - Màn E đặt sao cho khoảng cách giữa vật và màn là 60 cm. - Ban đầu, với \( d = 20 \text{ cm} \), thu được vệt sáng tròn đường kính 10 cm trên màn. Ta cần tìm đường kính nhỏ nhất của vệt sáng trên màn khi dịch chuyển thấu kính trong khoảng giữa vật và màn (vật và màn cách nhau 60 cm). --- **Phân tích:** Khoảng cách giữa vật và màn: \( D = 60 \text{ cm} \). Vật cách thấu kính một khoảng \( d \), màn cách thấu kính là \( d' \), với: \[ d + d' = D = 60 \text{ cm} \] Công thức thấu kính: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} \] Cho biết khi \( d = 20 \text{ cm} \), thì vệt sáng trên màn có đường kính \( d_v = 10 \text{ cm} \). --- **Ý tưởng giải:** Vệt sáng trên màn do điểm sáng S tạo thành có kích thước nhỏ nhất khi ảnh của S được tạo ra trên màn (ảnh điểm sắc nét). Khi ảnh điểm sắc nét, vệt sáng nhỏ nhất là điểm sáng (đường kính gần như bằng 0). Tuy nhiên, nếu thấu kính không tạo ảnh điểm sắc nét trên màn (vị trí thấu kính khác với vị trí ảnh rõ nét), vệt sáng trên màn sẽ bị mờ, có kích thước lớn hơn. Ta cần tìm đường kính nhỏ nhất của vệt sáng khi dịch chuyển thấu kính trong khoảng \( d \in (0, 60) \). --- **Bước 1: Xác định đường kính vệt sáng theo vị trí thấu kính** Gọi: - \( d \): khoảng cách từ vật (S) đến thấu kính, - \( d' = D - d \): khoảng cách từ thấu kính đến màn. Vệt sáng trên màn gồm hai thành phần: - Phần ảnh của điểm sáng tạo thành ảnh có kích thước \( h' \), - Độ mờ do không đúng vị trí ảnh sắc nét. Đường kính vệt sáng trên màn \( d_v \) tỷ lệ với khoảng cách lệch của tia sáng qua thấu kính và màn. Khi \( d=20 \text{ cm} \), \( d' = 40 \text{ cm} \), đường kính vệt sáng là \( d_v = 10 \text{ cm} \). --- **Bước 2: Tính góc mở tia sáng và tỷ lệ đường kính vệt sáng** Tia sáng từ điểm sáng S phát ra với góc mở không đổi. Khi ảnh điểm nằm đúng trên màn, đường kính vệt sáng nhỏ nhất. Khi màn không đặt đúng vị trí ảnh, đường kính vệt sáng tăng. Công thức: \[ d_v = \left| \frac{d'}{d} (d - f) \right| \cdot \text{đường kính ban đầu} \] Chưa đủ dữ liệu để dùng công thức này, cần dùng phương pháp khác. --- **Bước 3: Áp dụng công thức ảnh của điểm sáng không đúng tiêu cự** Giả sử vệt sáng trên màn là ảnh của điểm sáng S có kích thước ban đầu rất nhỏ (gần điểm). Do dịch chuyển thấu kính, ảnh điểm sáng bị mờ, tạo thành vệt sáng có đường kính tỷ lệ với sai lệch vị trí màn và ảnh điểm. Khoảng cách từ vị trí màn đến vị trí ảnh điểm là: \[ \Delta = |d' - d'_{ảnh}| \] Trong đó: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'_{ảnh}} \Rightarrow d'_{ảnh} = \frac{f d}{d - f} \] Vậy: \[ \Delta = |d' - \frac{f d}{d - f}| \] Kích thước vệt sáng trên màn sẽ tỷ lệ thuận với \(\Delta\). --- **Bước 4: Tính \( d_v \) tương đối** Đường kính vệt sáng tỉ lệ với \( \Delta \): \[ d_v = C \cdot \Delta \] Ở vị trí \( d = 20 \text{ cm} \), \( d' = 40 \text{ cm} \), đường kính \( d_v = 10 \text{ cm} \), suy ra hằng số \( C \): \[ d'_{ảnh} = \frac{f d}{d - f} = \frac{20 \times 20}{20 - 20} = \infty \] Gặp trường hợp \( d = f \), tức \( d = 20 \), \( d - f = 0 \), không xác định. Do đó, điểm sáng đặt ở tiêu điểm thấu kính, ảnh sáng là song song (tại vô cực). Màn cách 40 cm (không phải vị trí ảnh sắc nét). Vệt sáng lớn nhất ở vị trí này. --- **Bước 5: Tìm vị trí thấu kính để ảnh điểm sáng nằm trên màn (vệt sáng nhỏ nhất)** Để ảnh điểm nằm trên màn: \[ d' = \frac{f d}{d - f} \] Và vì màn cách vật \( D = d + d' = 60 \text{ cm} \), ta có: \[ d + \frac{f d}{d - f} = 60 \] Giải phương trình: \[ d + \frac{20 d}{d - 20} = 60 \] Nhân hai vế với \( d - 20 \): \[ d(d - 20) + 20 d = 60 (d - 20) \] \[ d^2 - 20 d + 20 d = 60 d - 1200 \] \[ d^2 = 60 d - 1200 \] \[ d^2 - 60 d + 1200 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 60^2 - 4 \times 1 \times 1200 = 3600 - 4800 = -1200 < 0 \] Không có nghiệm thực. Vậy không thể đặt thấu kính sao cho ảnh điểm sáng nằm đúng trên màn cách vật 60 cm. --- **Bước 6: Tìm vị trí thấu kính để vệt sáng nhỏ nhất** Vì không thể tạo ảnh điểm trên màn, vệt sáng nhỏ nhất xảy ra khi thấu kính dịch chuyển sao cho khoảng cách sai lệch \( \Delta \) đạt cực tiểu. Ta xem \( \Delta(d) = |d' - d'_{ảnh}| = |60 - d - \frac{20 d}{d - 20}| \). Xét hàm: \[ g(d) = 60 - d - \frac{20 d}{d - 20} \] Tìm cực trị của \( |g(d)| \) trên khoảng \( d \in (0, 60) \), \( d \neq 20 \). --- **Bước 7: Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị** Đạo hàm của \( g(d) \): \[ g(d) = 60 - d - \frac{20 d}{d - 20} = 60 - d - 20 \cdot \frac{d}{d - 20} \] Viết lại: \[ g(d) = 60 - d - 20 \frac{d}{d - 20} \] Đạo hàm: \[ g'(d) = -1 - 20 \cdot \frac{(d - 20) \cdot 1 - d \cdot 1}{(d - 20)^2} = -1 - 20 \cdot \frac{d - 20 - d}{(d - 20)^2} = -1 - 20 \cdot \frac{-20}{(d - 20)^2} = -1 + \frac{400}{(d - 20)^2} \] Đặt \( g'(d) = 0 \): \[ -1 + \frac{400}{(d - 20)^2} = 0 \Rightarrow \frac{400}{(d - 20)^2} = 1 \Rightarrow (d - 20)^2 = 400 \] \[ d - 20 = \pm 20 \Rightarrow d = 40 \text{ hoặc } d = 0 \] --- **Bước 8: Tính \( g(d) \) tại \( d = 0 \) và \( d = 40 \)** - Với \( d=0 \): \[ g(0) = 60 - 0 - \frac{20 \times 0}{0 - 20} = 60 \] - Với \( d=40 \): \[ g(40) = 60 - 40 - \frac{20 \times 40}{40 - 20} = 20 - \frac{800}{20} = 20 - 40 = -20 \] Giá trị tuyệt đối: \[ |g(0)| = 60, \quad |g(40)| = 20 \] Vậy \( \Delta_{min} = 20 \text{ cm} \) tại \( d = 40 \text{ cm} \). --- **Bước 9: Tính đường kính vệt sáng nhỏ nhất** Tỷ lệ đường kính vệt sáng tỉ lệ với \( \Delta \). Ban đầu, khi \( d=20 \), \( \Delta = \infty \) (ảnh tại vô cực), đường kính vệt sáng là 10 cm. Khi \( d = 40 \), \( \Delta = 20 \text{ cm} \). Vì không thể tính chính xác hằng số tỉ lệ, ta dùng tỉ lệ tương đối: \[ d_v \propto \Delta \] Tỉ lệ: \[ \frac{d_{v, \min}}{d_{v, 20}} = \frac{\Delta_{\min}}{\Delta_{20}} = \frac{20}{\infty} = 0 \] Như vậy, tại \( d=40 \), vệt sáng có đường kính nhỏ hơn nhiều. Nhưng \( d=20 \) có vệt sáng đường kính 10 cm. Thực tế, khi ảnh nằm đúng trên màn thì vệt sáng nhỏ nhất, gần như điểm sáng nên đường kính nhỏ nhất gần bằng 0. --- **Kết luận câu 2:** - Để đường kính vệt sáng trên màn nhỏ nhất, thấu kính đặt ở vị trí \( d = 40 \text{ cm} \) (cách vật 40 cm, cách màn 20 cm). - Đường kính nhỏ nhất của vệt sáng trên màn gần bằng 0 (ảnh điểm sắc nét). - Đường kính vệt sáng khi thấu kính ở \( d=20 \text{ cm} \) là 10 cm, ở vị trí \( d=40 \text{ cm} \) thì đường kính nhỏ nhất gần 0. --- # **Tóm tắt đáp án:** 1. Màn ảnh E phải đặt cách thấu kính 60 cm về phía sau để hứng ảnh rõ nét của vật cách thấu kính 30 cm. Tỉ số chiều cao ảnh/vật là \(-2\) (ảnh ngược chiều và cao gấp đôi vật). 2. Khi vật cách thấu kính 20 cm, màn cách vật 60 cm, vệt sáng trên màn có đường kính 10 cm. Dịch chuyển thấu kính dọc trục chính trong khoảng giữa vật và màn, đường kính vệt sáng nhỏ nhất xuất hiện khi thấu kính cách vật 40 cm. Đường kính nhỏ nhất này gần bằng 0 (ảnh điểm sắc nét).