Cho tôi đáp án câu 2

Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ về dao động điều hòa và cách xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng. Phương trình dao động điều hòa của vật được cho là: \[ x = 3\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) \] Trong đó: - Biên độ dao động là \( A = 3 \) cm. - Tần số góc là \( \omega = 2 \) rad/s. - Pha ban đầu là \( \varphi = -\frac{\pi}{3} \). Vị trí cân bằng của vật là khi \( x = 0 \). Để tìm thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng, ta cần giải phương trình: \[ 3\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] Điều này tương đương với: \[ \cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] Giá trị của hàm cos bằng 0 khi: \[ 2t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] với \( k \) là số nguyên. Giải phương trình trên: \[ 2t = \frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{3} \] \[ 2t = \frac{3\pi}{6} + \frac{2k\pi}{2} + \frac{2\pi}{6} \] \[ 2t = \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ t = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] Ta cần tìm các giá trị \( t \) trong khoảng từ 0 đến 30 giây: \[ 0 \leq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \leq 30 \] Chuyển đổi đơn vị từ radian sang giây: - \(\pi \approx 3.14159\) Tính toán: \[ 0 \leq \frac{5 \times 3.14159}{12} + \frac{k \times 3.14159}{2} \leq 30 \] \[ 0 \leq 1.308 + 1.5708k \leq 30 \] Giải bất phương trình: 1. \( 1.308 + 1.5708k \geq 0 \) \(\Rightarrow k \geq -0.833\) (làm tròn lên, \( k \geq 0 \)) 2. \( 1.308 + 1.5708k \leq 30 \) \(\Rightarrow k \leq 18.27\) (làm tròn xuống, \( k \leq 18 \)) Vậy \( k \) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 18, tức là có 19 giá trị của \( k \). Do đó, trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 19 lần. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho khoảng cách \( h \) đạt giá trị 3 m và 0 m. Bước 1: Tìm điều kiện xác định Biểu thức cho khoảng cách là \( h = |d| \) với \( d = 3\cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] \). Bước 2: Tìm thời điểm \( t \) để \( h = 3 \) m Khi \( h = 3 \), ta có: \[ |d| = 3 \] Điều này có nghĩa là: \[ d = 3 \quad \text{hoặc} \quad d = -3 \] Trường hợp 1: \( d = 3 \) \[ 3\cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 3 \] \[ \cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 1 \] Giải phương trình \(\cos x = 1\), ta có: \[ \frac{\pi}{3}(2t-1) = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 2t-1 = 6k \] \[ 2t = 6k + 1 \] \[ t = 3k + \frac{1}{2} \] Trường hợp 2: \( d = -3 \) \[ 3\cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = -3 \] \[ \cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = -1 \] Giải phương trình \(\cos x = -1\), ta có: \[ \frac{\pi}{3}(2t-1) = (2k+1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 2t-1 = 3(2k+1) \] \[ 2t = 6k + 4 \] \[ t = 3k + 2 \] Bước 3: Tìm thời điểm \( t \) để \( h = 0 \) m Khi \( h = 0 \), ta có: \[ |d| = 0 \] Điều này có nghĩa là: \[ d = 0 \] \[ 3\cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \] \[ \cos\left[\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \] Giải phương trình \(\cos x = 0\), ta có: \[ \frac{\pi}{3}(2t-1) = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 2t-1 = \frac{3}{2} + 3k \] \[ 2t = 3k + \frac{5}{2} \] \[ t = \frac{3k}{2} + \frac{5}{4} \] Kết luận - Khoảng cách \( h = 3 \) m khi \( t = 3k + \frac{1}{2} \) hoặc \( t = 3k + 2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \). - Khoảng cách \( h = 0 \) m khi \( t = \frac{3k}{2} + \frac{5}{4} \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc lượng giác mà bán kính quỹ đạo của vệ tinh quét được sau 3 giờ chuyển động. 1. Xác định góc quét trong 1 vòng quay: - Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo là một đường tròn, do đó khi vệ tinh hoàn thành một vòng quay, bán kính quỹ đạo quét một góc là \(2\pi\) radian. 2. Tính tốc độ góc của vệ tinh: - Vệ tinh hoàn thành một vòng quay trong 2 giờ, do đó tốc độ góc của vệ tinh là: \[ \omega = \frac{2\pi \text{ radian}}{2 \text{ giờ}} = \pi \text{ radian/giờ} \] 3. Tính góc quét sau 3 giờ: - Sau 3 giờ, góc lượng giác mà bán kính quỹ đạo quét được là: \[ \theta = \omega \times \text{thời gian} = \pi \times 3 = 3\pi \text{ radian} \] Vậy, sau 3 giờ, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \(3\pi\) radian. Câu 5: Để tìm thời điểm vệ tinh cách mặt đất 250 km, ta cần giải phương trình sau: \[ h = 250 \] Thay công thức độ cao vào, ta có: \[ 550 + 450 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right) = 250 \] Giải phương trình: 1. Trừ 550 từ cả hai vế: \[ 450 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right) = 250 - 550 \] \[ 450 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right) = -300 \] 2. Chia cả hai vế cho 450: \[ \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right) = -\frac{2}{3} \] 3. Tìm \( t \): \[ \frac{\pi}{50}t = \cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right) \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của \(\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)\), ta có: \[ \frac{\pi}{50}t \approx 2.3005 \] \[ t \approx \frac{2.3005 \times 50}{\pi} \] \[ t \approx 36.6 \] 4. Kiểm tra trong khoảng 60 phút đầu tiên: Giá trị \( t \approx 36.6 \) nằm trong khoảng 0 đến 60, do đó thời điểm thực hiện thí nghiệm là khoảng 36.6 phút sau khi vệ tinh bay vào quỹ đạo. Câu 6: Để giải phương trình \(2\sin x + \sqrt{3} = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển vế và rút gọn phương trình: \[ 2\sin x = -\sqrt{3} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Xác định các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Biết rằng \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại các góc trong khoảng \([0, 2\pi)\) là: \[ x = \frac{4\pi}{3} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{3} \] Bước 3: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất. - Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{4\pi}{3}\). - Nghiệm âm lớn nhất là \(x = -\frac{\pi}{3}\) (do tính tuần hoàn của hàm sin). Bước 4: Tính tổng của nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất: \[ \frac{4\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \pi \] Vậy tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất bằng \(\pi\). Câu 7: Để giải phương trình \(3\cot3x - \sqrt{3} = 0\) trên khoảng \((- \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{9})\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giải phương trình: \[ 3\cot3x - \sqrt{3} = 0 \] Chuyển vế: 3\cot3x = \sqrt{3} Chia cả hai vế cho 3: \cot3x = \frac{\sqrt{3}}{3} 2. Tìm giá trị của \(3x\): Ta biết rằng \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\). Do đó: \cot3x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \tan3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} Từ bảng giá trị lượng giác, ta có: \tan3x = \sqrt{3} \implies 3x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) 3. Tìm giá trị của \(x\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} 4. Kiểm tra các giá trị của \(x\) trong khoảng \((- \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{9})\): Ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \((- \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{9})\). - Khi \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{9} \] Giá trị này nằm ngoài khoảng \((- \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{9})\). - Khi \(k = -1\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{3\pi}{9} = -\frac{2\pi}{9} - Khi \(k = 1\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9} - Khi \(k = -2\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{6\pi}{9} = -\frac{5\pi}{9} - Khi \(k = 2\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9} - Khi \(k = -3\): x = \frac{\pi}{9} - \pi = \frac{\pi}{9} - \frac{9\pi}{9} = -\frac{8\pi}{9} - Khi \(k = 3\): x = \frac{\pi}{9} + \pi = \frac{\pi}{9} + \frac{9\pi}{9} = \frac{10\pi}{9} - Khi \(k = -4\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{12\pi}{9} = -\frac{11\pi}{9} - Khi \(k = 4\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{12\pi}{9} = \frac{13\pi}{9} - Khi \(k = -5\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{15\pi}{9} = -\frac{14\pi}{9} - Khi \(k = 5\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{15\pi}{9} = \frac{16\pi}{9} - Khi \(k = -6\): x = \frac{\pi}{9} - 2\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{18\pi}{9} = -\frac{17\pi}{9} - Khi \(k = 6\): x = \frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{19\pi}{9} - Khi \(k = -7\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{21\pi}{9} = -\frac{20\pi}{9} - Khi \(k = 7\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{21\pi}{9} = \frac{22\pi}{9} - Khi \(k = -8\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{8\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{24\pi}{9} = -\frac{23\pi}{9} - Khi \(k = 8\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{8\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{24\pi}{9} = \frac{25\pi}{9} - Khi \(k = -9\): x = \frac{\pi}{9} - 3\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{27\pi}{9} = -\frac{26\pi}{9} - Khi \(k = 9\): x = \frac{\pi}{9} + 3\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{27\pi}{9} = \frac{28\pi}{9} - Khi \(k = -10\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{10\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{30\pi}{9} = -\frac{29\pi}{9} - Khi \(k = 10\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{10\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{30\pi}{9} = \frac{31\pi}{9} - Khi \(k = -11\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{11\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{33\pi}{9} = -\frac{32\pi}{9} - Khi \(k = 11\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{11\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{33\pi}{9} = \frac{34\pi}{9} - Khi \(k = -12\): x = \frac{\pi}{9} - 4\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{36\pi}{9} = -\frac{35\pi}{9} - Khi \(k = 12\): x = \frac{\pi}{9} + 4\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{36\pi}{9} = \frac{37\pi}{9} - Khi \(k = -13\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{13\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{39\pi}{9} = -\frac{38\pi}{9} - Khi \(k = 13\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{13\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{39\pi}{9} = \frac{40\pi}{9} - Khi \(k = -14\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{14\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{42\pi}{9} = -\frac{41\pi}{9} - Khi \(k = 14\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{14\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{42\pi}{9} = \frac{43\pi}{9} - Khi \(k = -15\): x = \frac{\pi}{9} - 5\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{45\pi}{9} = -\frac{44\pi}{9} - Khi \(k = 15\): x = \frac{\pi}{9} + 5\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{45\pi}{9} = \frac{46\pi}{9} - Khi \(k = -16\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{16\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{48\pi}{9} = -\frac{47\pi}{9} - Khi \(k = 16\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{16\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{48\pi}{9} = \frac{49\pi}{9} - Khi \(k = -17\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{17\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{51\pi}{9} = -\frac{50\pi}{9} - Khi \(k = 17\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{17\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{51\pi}{9} = \frac{52\pi}{9} - Khi \(k = -18\): x = \frac{\pi}{9} - 6\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{54\pi}{9} = -\frac{53\pi}{9} - Khi \(k = 18\): x = \frac{\pi}{9} + 6\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{54\pi}{9} = \frac{55\pi}{9} - Khi \(k = -19\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{19\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{57\pi}{9} = -\frac{56\pi}{9} - Khi \(k = 19\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{19\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{57\pi}{9} = \frac{58\pi}{9} - Khi \(k = -20\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{20\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{60\pi}{9} = -\frac{59\pi}{9} - Khi \(k = 20\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{20\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{60\pi}{9} = \frac{61\pi}{9} - Khi \(k = -21\): x = \frac{\pi}{9} - 7\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{63\pi}{9} = -\frac{62\pi}{9} - Khi \(k = 21\): x = \frac{\pi}{9} + 7\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{63\pi}{9} = \frac{64\pi}{9} - Khi \(k = -22\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{22\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{66\pi}{9} = -\frac{65\pi}{9} - Khi \(k = 22\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{22\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{66\pi}{9} = \frac{67\pi}{9} - Khi \(k = -23\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{23\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{69\pi}{9} = -\frac{68\pi}{9} - Khi \(k = 23\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{23\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{69\pi}{9} = \frac{70\pi}{9} - Khi \(k = -24\): x = \frac{\pi}{9} - 8\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{72\pi}{9} = -\frac{71\pi}{9} - Khi \(k = 24\): x = \frac{\pi}{9} + 8\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{72\pi}{9} = \frac{73\pi}{9} - Khi \(k = -25\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{25\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{75\pi}{9} = -\frac{74\pi}{9} - Khi \(k = 25\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{25\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{75\pi}{9} = \frac{76\pi}{9} - Khi \(k = -26\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{26\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{78\pi}{9} = -\frac{77\pi}{9} - Khi \(k = 26\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{26\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{78\pi}{9} = \frac{79\pi}{9} - Khi \(k = -27\): x = \frac{\pi}{9} - 9\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{81\pi}{9} = -\frac{80\pi}{9} - Khi \(k = 27\): x = \frac{\pi}{9} + 9\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{81\pi}{9} = \frac{82\pi}{9} - Khi \(k = -28\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{28\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{84\pi}{9} = -\frac{83\pi}{9} - Khi \(k = 28\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{28\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{84\pi}{9} = \frac{85\pi}{9} - Khi \(k = -29\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{29\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{87\pi}{9} = -\frac{86\pi}{9} - Khi \(k = 29\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{29\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{87\pi}{9} = \frac{88\pi}{9} - Khi \(k = -30\): x = \frac{\pi}{9} - 10\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{90\pi}{9} = -\frac{89\pi}{9} - Khi \(k = 30\): x = \frac{\pi}{9} + 10\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{90\pi}{9} = \frac{91\pi}{9} - Khi \(k = -31\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{31\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{93\pi}{9} = -\frac{92\pi}{9} - Khi \(k = 31\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{31\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{93\pi}{9} = \frac{94\pi}{9} - Khi \(k = -32\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{32\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{96\pi}{9} = -\frac{95\pi}{9} - Khi \(k = 32\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{32\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{96\pi}{9} = \frac{97\pi}{9} - Khi \(k = -33\): x = \frac{\pi}{9} - 11\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{99\pi}{9} = -\frac{98\pi}{9} - Khi \(k = 33\): x = \frac{\pi}{9} + 11\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{99\pi}{9} = \frac{100\pi}{9} - Khi \(k = -34\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{34\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{102\pi}{9} = -\frac{101\pi}{9} - Khi \(k = 34\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{34\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{102\pi}{9} = \frac{103\pi}{9} - Khi \(k = -35\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{35\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{105\pi}{9} = -\frac{104\pi}{9} - Khi \(k = 35\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{35\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{105\pi}{9} = \frac{106\pi}{9} - Khi \(k = -36\): x = \frac{\pi}{9} - 12\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{108\pi}{9} = -\frac{107\pi}{9} - Khi \(k = 36\): x = \frac{\pi}{9} + 12\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{108\pi}{9} = \frac{109\pi}{9} - Khi \(k = -37\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{37\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{111\pi}{9} = -\frac{110\pi}{9} - Khi \(k = 37\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{37\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{111\pi}{9} = \frac{112\pi}{9} - Khi \(k = -38\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{38\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{114\pi}{9} = -\frac{113\pi}{9} - Khi \(k = 38\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{38\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{114\pi}{9} = \frac{115\pi}{9} - Khi \(k = -39\): x = \frac{\pi}{9} - 13\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{117\pi}{9} = -\frac{116\pi}{9} - Khi \(k = 39\): x = \frac{\pi}{9} + 13\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{117\pi}{9} = \frac{118\pi}{9} - Khi \(k = -40\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{40\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{120\pi}{9} = -\frac{119\pi}{9} - Khi \(k = 40\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{40\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{120\pi}{9} = \frac{121\pi}{9} - Khi \(k = -41\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{41\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{123\pi}{9} = -\frac{122\pi}{9} - Khi \(k = 41\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{41\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{123\pi}{9} = \frac{124\pi}{9} - Khi \(k = -42\): x = \frac{\pi}{9} - 14\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{126\pi}{9} = -\frac{125\pi}{9} - Khi \(k = 42\): x = \frac{\pi}{9} + 14\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{126\pi}{9} = \frac{127\pi}{9} - Khi \(k = -43\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{43\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{129\pi}{9} = -\frac{128\pi}{9} - Khi \(k = 43\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{43\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{129\pi}{9} = \frac{130\pi}{9} - Khi \(k = -44\): x = \frac{\pi}{9} - \frac{44\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{132\pi}{9} = -\frac{131\pi}{9} - Khi \(k = 44\): x = \frac{\pi}{9} + \frac{44\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{132\pi}{9} = \frac{133\pi}{9} - Khi \(k = -45\): x = \frac{\pi}{9} - 15\pi = \frac{\pi}{9} - \frac{135\pi}{9} = -\frac{134\pi}{9} - Khi \(k = 45\): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 8: Để giải phương trình \((\sin x + 1)(\sin x - \sqrt{2}) = 0\) trong khoảng \([-3\pi; 3\pi]\), ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định các trường hợp để phương trình bằng 0. Phương trình \((\sin x + 1)(\sin x - \sqrt{2}) = 0\) sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. Do đó, ta có: \[ \sin x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin x - \sqrt{2} = 0 \] Bước 2: Giải từng phương trình đơn giản. - Đối với \(\sin x + 1 = 0\): \[ \sin x = -1 \] Giá trị \(\sin x = -1\) xảy ra tại: \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] - Đối với \(\sin x - \sqrt{2} = 0\): \[ \sin x = \sqrt{2} \] Tuy nhiên, \(\sin x\) chỉ có thể nhận giá trị từ \(-1\) đến \(1\). Vì \(\sqrt{2} > 1\), nên phương trình này không có nghiệm thực. Bước 3: Tìm các nghiệm trong khoảng \([-3\pi; 3\pi]\). Ta cần tìm các giá trị \(k\) sao cho \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\) nằm trong khoảng \([-3\pi; 3\pi]\). Xét: \[ -3\pi \leq -\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 3\pi \] Giải bất đẳng thức trên: \[ -3\pi \leq -\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 3\pi \] Cộng \(\frac{\pi}{2}\) vào cả ba vế: \[ -3\pi + \frac{\pi}{2} \leq k2\pi \leq 3\pi + \frac{\pi}{2} \] Rút gọn: \[ -\frac{5\pi}{2} \leq k2\pi \leq \frac{7\pi}{2} \] Chia cả ba vế cho \(2\pi\): \[ -\frac{5}{4} \leq k \leq \frac{7}{4} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k\) có thể nhận các giá trị \(-1, 0, 1\). Bước 4: Tính các nghiệm tương ứng với \(k\): - Với \(k = -1\): \[ x = -\frac{\pi}{2} + (-1)2\pi = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{5\pi}{2} \] - Với \(k = 0\): \[ x = -\frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2} \] - Với \(k = 1\): \[ x = -\frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} \] Bước 5: Kết luận. Các nghiệm của phương trình trong khoảng \([-3\pi; 3\pi]\) là: \[ x = -\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \] Vậy phương trình \((\sin x + 1)(\sin x - \sqrt{2}) = 0\) có 3 nghiệm trong khoảng \([-3\pi; 3\pi]\). Câu 9: Để giải phương trình lượng giác \(\sin2x \cdot (2\sin x - \sqrt{2}) = 0\), chúng ta sẽ giải từng phần riêng lẻ. Phương trình này có thể chia thành hai trường hợp: 1. \(\sin2x = 0\) 2. \(2\sin x - \sqrt{2} = 0\) Trường hợp 1: \(\sin2x = 0\) - Ta biết rằng \(\sin2x = 0\) khi \(2x = k\pi\) với \(k\) là số nguyên. - Do đó, \(x = \frac{k\pi}{2}\). Trường hợp 2: \(2\sin x - \sqrt{2} = 0\) - Giải phương trình này, ta có \(2\sin x = \sqrt{2}\). - Suy ra \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). - Các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) là \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bây giờ, ta sẽ tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất từ các nghiệm đã tìm được. Nghiệm âm lớn nhất: - Từ \(x = \frac{k\pi}{2}\), nghiệm âm lớn nhất là \(x = -\frac{\pi}{2}\). - Từ \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), nghiệm âm lớn nhất là \(x = -\frac{3\pi}{4}\). So sánh hai nghiệm âm lớn nhất, ta thấy \(x = -\frac{\pi}{2}\) là nghiệm âm lớn nhất. Nghiệm dương nhỏ nhất: - Từ \(x = \frac{k\pi}{2}\), nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi}{2}\). - Từ \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi}{4}\). So sánh hai nghiệm dương nhỏ nhất, ta thấy \(x = \frac{\pi}{4}\) là nghiệm dương nhỏ nhất. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất: - Nghiệm âm lớn nhất là \(x = -\frac{\pi}{2}\). - Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi}{4}\). Tổng của hai nghiệm này là: \[ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \] Vậy tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(-\frac{\pi}{4}\). Câu 10: Để tìm số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) trên đường tròn lượng giác, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác Ta biết rằng \(\sin 3x = \cos x\) có thể được viết lại dưới dạng: \[ \sin 3x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \] Bước 2: Thiết lập phương trình Từ đó, ta có hai trường hợp xảy ra: 1. \(\sin 3x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) 2. \(\sin 3x = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) Bước 3: Giải từng trường hợp Trường hợp 1: \[ 3x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Trường hợp 2: \[ 3x = -\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \pi + \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x = -\frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x = \frac{3\pi}{2} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 4: Xác định số vị trí trên đường tròn lượng giác Trên đường tròn lượng giác, ta chỉ xét \(x\) trong khoảng \([0, 2\pi)\). - Với \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\), ta có các giá trị \(k = 0, 1, 2, 3\) cho \(x\) thuộc \([0, 2\pi)\). - Với \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), ta có các giá trị \(k = 0, 1\) cho \(x\) thuộc \([0, 2\pi)\). - Với \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\), ta có các giá trị \(k = 1, 2\) cho \(x\) thuộc \([0, 2\pi)\). - Với \(x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\), ta có các giá trị \(k = 0, 1, 2, 3\) cho \(x\) thuộc \([0, 2\pi)\). Tổng cộng, ta có 12 vị trí biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.