giúp vs fhevdbd

Bài tập 2: Câu a) \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \) Điều kiện xác định: \[ x^2 - 6x + 5 \geq 0 \] \[ (x - 1)(x - 5) \geq 0 \] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1] & [1, 5] & [5, +\infty) \\ \hline (x - 1) & - & + & + \\ (x - 5) & - & - & + \\ \hline (x - 1)(x - 5) & + & - & + \end{array} \] Vậy miền xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 1] \cup [5, +\infty) \] Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 6x + 5} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \cdot (2x - 6) \] \[ y' = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] \[ y' = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1] \): \[ x - 3 < 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0 \] \[ y' < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1] \). - Trên khoảng \( [5, +\infty) \): \[ x - 3 > 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0 \] \[ y' > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( [5, +\infty) \). Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1] \). - Hàm số đồng biến trên \( [5, +\infty) \). Câu b) \( y = \frac{5x + 9}{x - 1} \) Điều kiện xác định: \[ x \neq 1 \] Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(5)(x - 1) - (5x + 9)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{5x - 5 - 5x - 9}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-14}{(x - 1)^2} \] Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): \[ (x - 1)^2 > 0 \quad \text{và} \quad -14 < 0 \] \[ y' < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1) \). - Trên khoảng \( (1, +\infty) \): \[ (x - 1)^2 > 0 \quad \text{và} \quad -14 < 0 \] \[ y' < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (1, +\infty) \). Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1) \). - Hàm số nghịch biến trên \( (1, +\infty) \). Câu c) \( y = (x - 2)(x^2 + 1) \) Tính đạo hàm: \[ y = (x - 2)(x^2 + 1) \] \[ y' = (x - 2)'(x^2 + 1) + (x - 2)(x^2 + 1)' \] \[ y' = (1)(x^2 + 1) + (x - 2)(2x) \] \[ y' = x^2 + 1 + 2x^2 - 4x \] \[ y' = 3x^2 - 4x + 1 \] Xét dấu của \( y' \): \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] \[ \Delta = 16 - 12 = 4 \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{3} \] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, \frac{1}{3}) & (\frac{1}{3}, 1) & (1, +\infty) \\ \hline 3x^2 - 4x + 1 & + & - & + \end{array} \] Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, \frac{1}{3}) \). - Hàm số nghịch biến trên \( (\frac{1}{3}, 1) \). - Hàm số đồng biến trên \( (1, +\infty) \). Câu d) \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \) Điều kiện xác định: \[ x \neq -1 \] Tính đạo hàm: \[ y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \] \[ y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x + 2x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \( (-\infty, -2) \): \[ x < 0 \quad \text{và} \quad x + 2 < 0 \quad \text{và} \quad (x + 1)^2 > 0 \] \[ y' > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, -2) \). - Trên khoảng \( (-2, -1) \): \[ x < 0 \quad \text{và} \quad x + 2 > 0 \quad \text{và} \quad (x + 1)^2 > 0 \] \[ y' < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-2, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, +\infty) \): \[ x > 0 \quad \text{và} \quad x + 2 > 0 \quad \text{và} \quad (x + 1)^2 > 0 \] \[ y' > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-1, +\infty) \). Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, -2) \). - Hàm số nghịch biến trên \( (-2, -1) \). - Hàm số đồng biến trên \( (-1, +\infty) \).