Cách tính các bài toán liên quan tới lim và công thức tính lim

Để tính giới hạn (lim) của một hàm số hoặc dãy số, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp cơ bản phù hợp với trình độ lớp 11. Dưới đây là các phương pháp phổ biến để tính giới hạn: 1. Giới hạn của dãy số: - Giới hạn của dãy số hằng: Nếu \( a \) là một hằng số thì \(\lim_{n \to \infty} a = a\). - Giới hạn của dãy số dạng \(\frac{p(n)}{q(n)}\): - Nếu bậc của tử số \( p(n) \) bằng bậc của mẫu số \( q(n) \), thì giới hạn là tỉ số của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong tử số và mẫu số. - Nếu bậc của tử số \( p(n) \) nhỏ hơn bậc của mẫu số \( q(n) \), thì giới hạn là 0. - Nếu bậc của tử số \( p(n) \) lớn hơn bậc của mẫu số \( q(n) \), thì giới hạn là \( +\infty \) hoặc \( -\infty \) tùy theo dấu của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong tử số. 2. Giới hạn của hàm số: - Giới hạn tại một điểm: Để tính \(\lim_{x \to a} f(x)\), ta thay trực tiếp \( x = a \) vào hàm số nếu hàm số xác định tại \( x = a \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \): - Nếu hàm số có dạng \(\frac{p(x)}{q(x)}\): - Nếu bậc của tử số \( p(x) \) bằng bậc của mẫu số \( q(x) \), thì giới hạn là tỉ số của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong tử số và mẫu số. - Nếu bậc của tử số \( p(x) \) nhỏ hơn bậc của mẫu số \( q(x) \), thì giới hạn là 0. - Nếu bậc của tử số \( p(x) \) lớn hơn bậc của mẫu số \( q(x) \), thì giới hạn là \( +\infty \) hoặc \( -\infty \) tùy theo dấu của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong tử số. 3. Một số giới hạn cơ bản: - \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) - \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\) 4. Phương pháp nhân lượng liên hợp: - Khi gặp các biểu thức chứa căn, ta có thể nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. 5. Phương pháp chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất: - Khi gặp các biểu thức đa thức hoặc phân thức, ta có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \( x \). Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{2x^2 - 5x + 3}\) - Bậc của tử số và mẫu số đều là 2. - Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong tử số là 3, trong mẫu số là 2. - Vậy \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{2x^2 - 5x + 3} = \frac{3}{2}\). Ví dụ 2: Tính \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\) - Ta biết rằng \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). - Đặt \( y = 2x \), khi \( x \to 0 \) thì \( y \to 0 \). - Vậy \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{\frac{y}{2}} = 2 \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 2 \cdot 1 = 2\). Hy vọng những phương pháp trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, hãy gửi cho tôi nhé!