Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. - Ta có $\Delta ABC$ vuông tại A, do đó $AB \perp AC$. - M là trung điểm của $BC$, nên $MB = MC$. - Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. Do đó, $M$ là trung điểm của $AD$. - Vì $M$ là trung điểm của cả $BC$ và $AD$, nên $BC \parallel AD$ và $AB \parallel CD$. - Từ đó, tứ giác $ABCD$ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $ABCD$ là hình bình hành. - Hơn nữa, vì $AB \perp AC$, nên $AB \perp CD$. Do đó, $ABCD$ là hình chữ nhật. b) Chứng minh BEDC là hình bình hành. - Lấy điểm $E$ sao cho $B$ là trung điểm của $AE$, tức là $AB = BE$ và $AB \parallel BE$. - Ta đã có $M$ là trung điểm của $BC$, nên $MB = MC$ và $BC \parallel AD$. - Do $B$ là trung điểm của $AE$, ta có $BE = \frac{1}{2}AE$. - Tứ giác $BEDC$ có $BE \parallel DC$ và $BE = DC$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = CD$). - Do đó, $BEDC$ là hình bình hành. c) Chứng minh $EK = 2KM$. - Xét tam giác $BEM$ và đường thẳng $BD$ cắt $EM$ tại $K$. - Vì $B$ là trung điểm của $AE$, nên $BE = \frac{1}{2}AE$. - Trong tam giác $BEM$, $M$ là trung điểm của $BC$ và $B$ là trung điểm của $AE$, nên $EM$ là đường trung bình của tam giác $ABE$. - Do đó, $EM \parallel BD$ và $EM = \frac{1}{2}BD$. - Vì $K$ là giao điểm của $EM$ và $BD$, theo tính chất đường trung bình, ta có $EK = 2KM$. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ADME là hình chữ nhật và D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1. Chứng minh ADME là hình chữ nhật: - Ta có M là trung điểm của BC, do đó MB = MC. - D là hình chiếu của M trên AB, nên MD vuông góc với AB. - E là hình chiếu của M trên AC, nên ME vuông góc với AC. - Do đó, AD vuông góc với MD và ME vuông góc với AE. - Vì MD và ME đều vuông góc với các cạnh tương ứng, nên ADME có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc với nhau. - Do đó, ADME là hình chữ nhật. 2. Chứng minh D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC: - Vì ADME là hình chữ nhật, nên AD = ME và MD = AE. - M là trung điểm của BC, nên MB = MC. - Do đó, D và E là trung điểm của AB và AC tương ứng. b) Chứng minh BDEM là hình bình hành. - Ta đã biết D và E là trung điểm của AB và AC. - M là trung điểm của BC. - Do đó, BD = DE và BM = ME. - Vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BDEM là hình bình hành. c) Lấy N sao cho M là trung điểm của NE. Hạ $EK\bot BC$ tại K. Chứng minh $AK\bot KN.$ 1. Xác định vị trí của N: - M là trung điểm của NE, do đó NE = 2 \times ME. 2. Chứng minh $AK\bot KN$: - Ta có EK vuông góc với BC tại K. - Vì ADME là hình chữ nhật, nên AD // ME và AD vuông góc với AB. - Do đó, AK vuông góc với BC. - Vì M là trung điểm của NE, nên ME = MN. - Do đó, tam giác MNE là tam giác cân tại M. - Vì EK vuông góc với BC và M là trung điểm của NE, nên K là trung điểm của đoạn thẳng nối từ E đến đường thẳng BC. - Do đó, AK vuông góc với KN. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một cách chi tiết. a) Tứ giác APHQ là hình gì? Vì sao? Tứ giác APHQ là hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng APHQ có bốn góc vuông. - Vì P và Q lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC, nên \( \angle APH = \angle AQH = 90^\circ \). - Do \( \Delta ABC \) vuông tại A, nên \( \angle BAC = 90^\circ \). - Từ đó, ta có \( \angle APQ = \angle AHQ = 90^\circ \). Vì tứ giác APHQ có ba góc vuông, góc còn lại cũng phải là góc vuông. Do đó, APHQ là hình chữ nhật. b) Chứng minh \(\Delta OHQ\) và \(\Delta KQH\) là tam giác cân lần lượt tại O và K. Chứng minh \(\Delta OHQ\) là tam giác cân tại O: - O là giao điểm của AH và PQ. Do APHQ là hình chữ nhật, nên AH là đường trung trực của PQ. - Do đó, \( OP = OQ \). Vì \( OP = OQ \), nên \(\Delta OHQ\) là tam giác cân tại O. Chứng minh \(\Delta KQH\) là tam giác cân tại K: - K là trung điểm của HC, do đó \( HK = KC \). - Trong \(\Delta KQH\), ta có \( KQ = KQ \) (cạnh chung). Vì \( HK = KC \) và \( KQ = KQ \), nên \(\Delta KQH\) là tam giác cân tại K. c) Gọi I là trung điểm BH. Tứ giác PIKQ là hình gì? Vì sao? Để chứng minh tứ giác PIKQ là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - I là trung điểm của BH. - K là trung điểm của HC. Do đó, IK là đường trung bình của tam giác BHC, nên \( IK \parallel BC \). - Tương tự, vì P và Q là hình chiếu của H lên AB và AC, nên \( PQ \parallel BC \). Vì \( IK \parallel PQ \) và \( IK = \frac{1}{2}BC = PQ \), nên tứ giác PIKQ là hình bình hành. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.