Cơ năng trong DĐĐH

Cơ năng trong dao động điều hòa (DĐĐH) là tổng động năng và thế năng của vật trong quá trình dao động. Giả sử vật dao động điều hòa với phương trình: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] Trong đó: - \( x \) là li độ của vật tại thời điểm \( t \), - \( A \) là biên độ dao động, - \( \omega \) là tần số góc, - \( \varphi \) là pha ban đầu. 1. **Thế năng (W_t):** \[ W_t = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \] 2. **Động năng (W_d):** Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Động năng: \[ W_d = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \] 3. **Cơ năng (W):** Tổng động năng và thế năng: \[ W = W_t + W_d = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \varphi) + \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \] Nhưng vì \( k = m \omega^2 \), nên: \[ W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 (\cos^2(\omega t + \varphi) + \sin^2(\omega t + \varphi)) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \] Vì \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\). **Kết luận:** Cơ năng của vật dao động điều hòa là hằng số, bằng: \[ W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} k A^2 \] Đây là năng lượng toàn phần của dao động, không đổi theo thời gian nếu không có lực cản.