Giả sử chúng ta để x = -1 trong máy tính và nhập: $ \sum_{n\mathop{=}x+1}^{\infty}\frac{\left(\mathrm{i}\pi)^n\right)}{n!} $ Biết mỗi lần bấm kết quả thì x sẽ tăng thêm 1, vậy nếu x = 2025 thì công t...

Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của biểu thức đã cho: $ \sum_{n=x+1}^{\infty}\frac{\left(\mathrm{i}\pi\right)^n}{n!} $ Biểu thức này là một tổng vô hạn, bắt đầu từ \( n = x + 1 \) và tiếp tục đến vô cùng. Trong đó, \( \mathrm{i} \) là đơn vị ảo với tính chất \( \mathrm{i}^2 = -1 \), và \( \pi \) là hằng số Pi. Khi \( x = 2025 \), tổng sẽ bắt đầu từ \( n = 2025 + 1 = 2026 \). Do đó, biểu thức trở thành: $ \sum_{n=2026}^{\infty}\frac{\left(\mathrm{i}\pi\right)^n}{n!} $ Để tính giá trị của tổng này, chúng ta cần nhận ra rằng đây là một phần của khai triển chuỗi Taylor của hàm số mũ phức: $ e^{\mathrm{i}\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\mathrm{i}\pi)^n}{n!} $ Theo công thức Euler, ta có: $ e^{\mathrm{i}\pi} = -1 $ Tuy nhiên, tổng của chúng ta bắt đầu từ \( n = 2026 \), nghĩa là chúng ta cần trừ đi các phần tử từ \( n = 0 \) đến \( n = 2025 \) trong khai triển của \( e^{\mathrm{i}\pi} \). Do đó, giá trị của tổng từ \( n = 2026 \) đến vô cùng là: $ e^{\mathrm{i}\pi} - \sum_{n=0}^{2025} \frac{(\mathrm{i}\pi)^n}{n!} $ Vì \( e^{\mathrm{i}\pi} = -1 \), nên: $ \sum_{n=2026}^{\infty}\frac{\left(\mathrm{i}\pi\right)^n}{n!} = -1 - \sum_{n=0}^{2025} \frac{(\mathrm{i}\pi)^n}{n!} $ Tuy nhiên, do \( e^{\mathrm{i}\pi} = -1 \) và tổng từ \( n = 0 \) đến \( n = 2025 \) gần như bao phủ toàn bộ giá trị của \( e^{\mathrm{i}\pi} \), phần còn lại từ \( n = 2026 \) trở đi sẽ rất nhỏ và có thể coi như xấp xỉ 0. Vì vậy, giá trị của tổng khi \( x = 2025 \) là xấp xỉ 0.