Câu $\rm 4.$

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các công thức lượng giác cơ bản: - \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) - \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 2. Thay các công thức trên vào biểu thức đã cho: \[ \frac{\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = 2m \tan^2 \alpha \] 3. Biến đổi tử số của vế trái: \[ \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha + \left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) - 1 \] \[ = \cos^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \] \[ = \cos^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \] \[ = \cos^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \] \[ = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha \] \[ = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] \[ = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} \] \[ = \frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] \[ = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] 4. Thay tử số đã biến đổi vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha} = 2m \tan^2 \alpha \] \[ \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} = 2m \tan^2 \alpha \] \[ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2m \tan^2 \alpha \] \[ \tan^2 \alpha = 2m \tan^2 \alpha \] 5. Chia cả hai vế cho \(\tan^2 \alpha\) (với \(\tan \alpha \neq 0\)): \[ 1 = 2m \] \[ m = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \(m\) là \(\boxed{\frac{1}{2}}\).