Giải thích chi tiết và trả lời đúng Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)=\frac12\cos2x+\frac12.$,a) Hàm số đã cho xác đỉnh trên $\mathbb{R}$ và là hàm số chẵn.,$T=[0;1].$,b) Hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì x đồng thời có tập giá trị là,c) Tập nghiệm của phương trình $f(x)=\frac12$ là $S=\{\frac\pi4+\frac{k\pi}2,k\in\mathbb{Z}\}.$,d) Tổng các nghiệm của phương trình $f(x)=\frac12$ trong đoạn $[0;\pi]$ là $\frac{3\pi}2.$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
a) Ta có miền xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Thay $x$ bởi $-x$ ta có:
$$ f(-x) = \frac{1}{2} \cos(-2x) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} = f(x). $$
Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy khẳng định a) sai.

b) Ta có miền giá trị của hàm số $\cos(2x)$ là $[-1;1]$. Suy ra miền giá trị của hàm số đã cho là $[0;1]$. Hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. Vậy khẳng định b) sai.

c) Ta có phương trình:
$$ \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. $$
$$ \Leftrightarrow \cos(2x) = 0 $$
$$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}). $$
Vậy khẳng định c) đúng.

d) Các nghiệm thuộc đoạn $[0; \pi]$ là $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{3\pi}{4}$. 
Tổng các nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ trong đoạn $[0; \pi]$ là:
$$ \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi. $$
Vậy khẳng định d) sai.