Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, chiều cao lăng trụ AA’ = a√2. Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC).

Để tính góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình lăng trụ: - Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \), do đó \( \angle BAC = 90^\circ \) và \( AB = AC = a \). - Chiều cao của lăng trụ là \( AA' = a\sqrt{2} \). 2. Xác định vector chỉ phương của đường thẳng \( A'C \): - Vector \( \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} \). - Ta có \( \overrightarrow{A'A} = (0, 0, -a\sqrt{2}) \) và \( \overrightarrow{AC} = (a, 0, 0) \). - Do đó, \( \overrightarrow{A'C} = (a, 0, -a\sqrt{2}) \). 3. Xác định mặt phẳng \( (ABC) \): - Mặt phẳng \( (ABC) \) có phương trình là \( z = 0 \) vì nó nằm trong mặt phẳng đáy của lăng trụ. 4. Tính góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \): - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định thông qua góc giữa vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. - Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \) là \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \). - Góc giữa \( \overrightarrow{A'C} \) và \( \overrightarrow{n} \) là góc \( \theta \) thỏa mãn: \[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{A'C}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|} \] - Tính tích vô hướng: \( \overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{n} = (a, 0, -a\sqrt{2}) \cdot (0, 0, 1) = -a\sqrt{2} \). - Độ dài của \( \overrightarrow{A'C} \) là: \[ \|\overrightarrow{A'C}\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] - Độ dài của \( \overrightarrow{n} \) là \( \|\overrightarrow{n}\| = 1 \). 5. Tính giá trị \( \cos \theta \): \[ \cos \theta = \frac{|-a\sqrt{2}|}{a\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] 6. Tính góc \( \theta \): - Do đó, góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \). Vậy, góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \).