Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√2 và SA ⟂ (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

1. Xác định vị trí các điểm và mặt phẳng:
   - Đáy ABCD là hình vuông cạnh $ a $, do đó tọa độ các điểm có thể được chọn như sau: $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ C(a, a, 0) $, $ D(0, a, 0) $.
   - Điểm $ S $ có tọa độ $ S(0, 0, a\sqrt{2}) $ vì $ SA = a\sqrt{2} $ và $ SA \perp (ABCD) $.

2. Phương trình mặt phẳng (SCD):
   - Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD) có thể được tìm bằng tích có hướng của hai véc-tơ $ \overrightarrow{SC} $ và $ \overrightarrow{SD} $.
   - $ \overrightarrow{SC} = (a, a, -a\sqrt{2}) $ và $ \overrightarrow{SD} = (0, a, -a\sqrt{2}) $.
   - Tích có hướng $ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (a^2\sqrt{2}, a^2\sqrt{2}, a^2) $.

3. Phương trình mặt phẳng (SCD):
   - Phương trình mặt phẳng có dạng $ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $.
   - Thay tọa độ điểm $ C(a, a, 0) $ vào, ta có phương trình mặt phẳng: 
     $$
     a^2\sqrt{2}(x - a) + a^2\sqrt{2}(y - a) + a^2(z - 0) = 0
     $$
   - Rút gọn, ta được: 
     $$
     a^2\sqrt{2}x + a^2\sqrt{2}y + a^2z = 2a^3\sqrt{2}
     $$
   - Chia cả hai vế cho $ a^2 $, ta có:
     $$
     \sqrt{2}x + \sqrt{2}y + z = 2a\sqrt{2}
     $$

4. Khoảng cách từ điểm B(a, 0, 0) đến mặt phẳng (SCD):
   - Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_1, y_1, z_1) $ đến mặt phẳng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ là:
     $$
     d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
     $$
   - Thay $ B(a, 0, 0) $ vào, ta có:
     $$
     d = \frac{|\sqrt{2}a + 0 + 0 - 2a\sqrt{2}|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2}} = \frac{|-a\sqrt{2}|}{\sqrt{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
     $$

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

1. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB):
   - Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) có thể được tìm bằng tích có hướng của hai véc-tơ $ \overrightarrow{SA} $ và $ \overrightarrow{SB} $.
   - $ \overrightarrow{SA} = (0, 0, a\sqrt{2}) $ và $ \overrightarrow{SB} = (a, 0, a\sqrt{2}) $.
   - Tích có hướng $ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB} = (0, a^2\sqrt{2}, 0) $.

2. Góc giữa hai mặt phẳng:
   - Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến của chúng.
   - Véc-tơ pháp tuyến của (SCD) là $ \overrightarrow{n_2} = (a^2\sqrt{2}, a^2\sqrt{2}, a^2) $.
   - Công thức tính góc giữa hai véc-tơ $ \overrightarrow{n_1} $ và $ \overrightarrow{n_2} $ là:
     $$
     \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{\|\overrightarrow{n_1}\| \|\overrightarrow{n_2}\|}
     $$
   - Tích vô hướng $ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot a^2\sqrt{2} + a^2\sqrt{2} \cdot a^2\sqrt{2} + 0 \cdot a^2 = a^4 \cdot 2 $.
   - Độ dài $ \|\overrightarrow{n_1}\| = a^2\sqrt{2} $ và $ \|\overrightarrow{n_2}\| = a^2\sqrt{3} $.
   - Do đó:
     $$
     \cos \theta = \frac{2a^4}{a^2\sqrt{2} \cdot a^2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
     $$
   - Suy ra góc giữa hai mặt phẳng là $ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) $.

Vậy, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $ và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là $ \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) $.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√2 và SA ⟂ (ABCD). a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).