Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Lựa chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để xếp thành hàng ngang. a) Tính xác suất để có ít nhất 2 nam và 2 nữ trong 5 học sinh được chọn. b) Tính số cách xếp...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính xác suất để có ít nhất 2 nam và 2 nữ trong 5 học sinh được chọn. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 5 học sinh từ 20 học sinh. Số cách chọn 5 học sinh từ 20 học sinh là tổ hợp chập 5 của 20: \[ C_{20}^{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504 \] Bước 2: Tính số cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Chúng ta sẽ tính số cách chọn theo từng trường hợp thỏa mãn điều kiện "ít nhất 2 nam và 2 nữ": - Trường hợp 1: 2 nam và 3 nữ Số cách chọn 2 nam từ 12 nam là: \[ C_{12}^{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \] Số cách chọn 3 nữ từ 8 nữ là: \[ C_{8}^{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Số cách chọn 2 nam và 3 nữ là: \[ 66 \times 56 = 3696 \] - Trường hợp 2: 3 nam và 2 nữ Số cách chọn 3 nam từ 12 nam là: \[ C_{12}^{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \] Số cách chọn 2 nữ từ 8 nữ là: \[ C_{8}^{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Số cách chọn 3 nam và 2 nữ là: \[ 220 \times 28 = 6160 \] Tổng số cách chọn thỏa mãn điều kiện là: \[ 3696 + 6160 = 9856 \] Bước 3: Tính xác suất. Xác suất để có ít nhất 2 nam và 2 nữ là: \[ P = \frac{9856}{15504} \approx 0.6355 \] b) Tính số cách xếp sao cho không có hai học sinh nam nào đứng cạnh nhau. Bước 1: Xếp 8 nữ trước. Số cách xếp 8 nữ là: \[ 8! = 40320 \] Bước 2: Chèn 5 nam vào giữa các nữ sao cho không có hai nam nào đứng cạnh nhau. Khi xếp 8 nữ, sẽ có 9 vị trí trống (trước, giữa và sau các nữ) để chèn nam vào. Để không có hai nam nào đứng cạnh nhau, ta chọn 5 vị trí từ 9 vị trí này: Số cách chọn 5 vị trí từ 9 vị trí là: \[ C_{9}^{5} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \] Bước 3: Xếp 5 nam vào 5 vị trí đã chọn. Số cách xếp 5 nam là: \[ 5! = 120 \] Tổng số cách xếp sao cho không có hai học sinh nam nào đứng cạnh nhau là: \[ 8! \times C_{9}^{5} \times 5! = 40320 \times 126 \times 120 = 609638400 \] Vậy, số cách xếp sao cho không có hai học sinh nam nào đứng cạnh nhau là 609,638,400.