Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: $MN//BC.$ Xét hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang, trong đó AD là đáy lớn và BC là đáy nhỏ. Ta có: - M là điểm trên SA sao cho $SM = 2MA$. Điều này có nghĩa là M chia đoạn SA theo tỉ lệ 2:1. - N là điểm trên SD sao cho $SD = 3DN$. Điều này có nghĩa là N chia đoạn SD theo tỉ lệ 3:1. Để chứng minh $MN//BC$, ta cần chứng minh rằng M và N chia các đoạn SA và SD theo cùng một tỉ lệ với các đoạn tương ứng trên BC. Tuy nhiên, do M và N chia SA và SD theo các tỉ lệ khác nhau (2:1 và 3:1), nên $MN$ không song song với $BC$. Kết luận: Mệnh đề a là sai. Mệnh đề b: Gọi P là giao điểm của SB với mặt phẳng (CMD) thì $CP//(BMD).$ Để xét mệnh đề này, ta cần xác định vị trí của điểm P. Điểm P là giao điểm của SB với mặt phẳng (CMD). - Mặt phẳng (CMD) chứa các điểm C, M, D. - Đường thẳng SB cắt mặt phẳng (CMD) tại điểm P. Để $CP//(BMD)$, cần có một đường thẳng trong mặt phẳng (BMD) song song với CP. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy CP song song với một đường thẳng trong mặt phẳng (BMD). Kết luận: Mệnh đề b là sai. Mệnh đề c: Giao tuyến của mặt phẳng (MNC) với mặt phẳng (SBC) là BC. Xét hai mặt phẳng (MNC) và (SBC): - Mặt phẳng (MNC) chứa các điểm M, N, C. - Mặt phẳng (SBC) chứa các điểm S, B, C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng chứa điểm chung của hai mặt phẳng. Vì C là điểm chung của cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến có thể là đường thẳng BC nếu M, N, C, B nằm trên cùng một mặt phẳng. Tuy nhiên, do M và N không nằm trên cùng một đường thẳng với B và C, nên giao tuyến không thể là BC. Kết luận: Mệnh đề c là sai. Mệnh đề d: Để tứ giác MNCB là hình bình hành thì $AD=3BC.$ Để tứ giác MNCB là hình bình hành, cần có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Ta đã biết M và N chia các đoạn SA và SD theo tỉ lệ 2:1 và 3:1, nhưng không có thông tin nào cho thấy MNCB có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Điều kiện $AD=3BC$ không đảm bảo rằng MNCB là hình bình hành, vì không có mối liên hệ trực tiếp giữa AD và các cạnh của tứ giác MNCB. Kết luận: Mệnh đề d là sai. Tóm lại, tất cả các mệnh đề a, b, c, d đều sai.