Câu $\rm 4.$

Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích của các hình vuông được tạo ra theo quy trình đã cho và sau đó tính tổng các diện tích này. 1. Diện tích hình vuông ban đầu: Hình vuông ABCD có cạnh bằng 3, do đó diện tích \( S_1 \) là: \[ S_1 = 3^2 = 9 \] 2. Diện tích hình vuông thứ hai: Nối 4 trung điểm của các cạnh của hình vuông ban đầu, ta được hình vuông thứ hai. Cạnh của hình vuông này bằng \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vì đường chéo của hình vuông nhỏ là cạnh của hình vuông lớn, và đường chéo của hình vuông lớn là \(3\sqrt{2}\)). Diện tích \( S_2 \) là: \[ S_2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} \] 3. Diện tích hình vuông thứ ba: Tương tự, cạnh của hình vuông thứ ba là \(\frac{3}{2}\) (vì tiếp tục nối trung điểm của các cạnh của hình vuông thứ hai). Diện tích \( S_3 \) là: \[ S_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \] 4. Quy luật tổng quát: Ta nhận thấy diện tích của hình vuông thứ \( n \) là: \[ S_n = \left(\frac{3}{\sqrt{2^{n-1}}}\right)^2 = \frac{9}{2^{n-1}} \] 5. Tính tổng \( S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots + S_{100} \): Tổng này là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu \( S_1 = 9 \) và công bội \( q = \frac{1}{2} \). Công thức tổng của cấp số nhân là: \[ S = S_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Với \( n = 100 \), ta có: \[ S = 9 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}}{1 - \frac{1}{2}} = 9 \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right) \] \[ S = 18 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right) \] Vì \(\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\) rất nhỏ, gần như bằng 0, nên: \[ S \approx 18 \] Vậy tổng diện tích của 100 hình vuông là xấp xỉ 18.