Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao từ A xuống BC. Biết AB = 12 cm, AC = 16 cm. a) Chứng minh rằng AH² = BH.HC. b) Tính độ dài AH, BH, HC.

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Chứng minh rằng \( AH^2 = BH \cdot HC \). Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = BH \cdot HC \] Định lý này phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích của hai đoạn thẳng mà đường cao chia cạnh huyền thành. b) Tính độ dài \( AH \), \( BH \), \( HC \). Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh huyền \( BC \) của tam giác vuông \( \triangle ABC \) bằng định lý Pythagore: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm} \] Vì \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \, \text{cm} \] Tiếp theo, ta tính \( BH \) và \( HC \) bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông: 1. \( BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \, \text{cm} \) 2. \( HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{16^2}{20} = \frac{256}{20} = 12.8 \, \text{cm} \) Vậy, độ dài các đoạn thẳng là: - \( AH = 9.6 \, \text{cm} \) - \( BH = 7.2 \, \text{cm} \) - \( HC = 12.8 \, \text{cm} \) Như vậy, ta đã chứng minh được \( AH^2 = BH \cdot HC \) và tính được độ dài các đoạn thẳng \( AH \), \( BH \), \( HC \).