Trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⟂ (ABCD), SA = a.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBD) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vị trí các điểm và mặt phẳng:

- Đặt hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho $ A $ trùng với gốc tọa độ $ O(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ D(0, a, 0) $, và $ C(a, a, 0) $.
   - Điểm $ S $ có tọa độ $ (0, 0, a) $ vì $ SA = a $ và $ SA \perp (ABCD) $.

2. Viết phương trình mặt phẳng $ (SBD) $:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (SBD) $ bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ $ \overrightarrow{SB} $ và $ \overrightarrow{SD} $.
   - Tọa độ các vectơ:
     $$
     \overrightarrow{SB} = (a, 0, -a), \quad \overrightarrow{SD} = (0, a, -a)
     $$
   - Tích có hướng $ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SD} $:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     a & 0 & -a \
     0 & a & -a
     \end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2)
     $$
   - Phương trình mặt phẳng $ (SBD) $ có dạng:
     $$
     a^2x + a^2y + a^2z = a^3
     $$
   - Rút gọn phương trình:
     $$
     x + y + z = a
     $$

3. Tính khoảng cách từ điểm $ A(0, 0, 0) $ đến mặt phẳng $ (SBD) $:

- Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ là:
     $$
     d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
     $$
   - Thay $ A = 1 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = -a $, và $ (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0) $ vào công thức:
     $$
     d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}
     $$

Vậy, khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBD) $ là $ \frac{a}{\sqrt{3}} $.

Trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⟂ (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).