Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a√2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).

Question

Accepted Answer

Để tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm đáy và chiều cao của hình chóp:

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, do đó tâm của hình vuông $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Tọa độ của $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

$$
   O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)
   $$

Vì hình chóp $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều, nên $SO$ là đường cao của hình chóp. Do đó, $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

2. Tính độ dài $SO$:

Ta có $SA = a\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAO$, áp dụng định lý Pythagore:

$$
   SA^2 = SO^2 + AO^2
   $$

Với $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $AC = a\sqrt{2}$).

$$
   (a\sqrt{2})^2 = SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2
   $$

$$
   2a^2 = SO^2 + \frac{a^2}{2}
   $$

$$
   SO^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}
   $$

$$
   SO = \frac{a\sqrt{6}}{2}
   $$

3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa đường cao $SO$ và đường thẳng $SA$ trong tam giác $SAB$.

Ta có:

$$
   \cos \theta = \frac{SO}{SA} = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
   $$

Do đó, góc $\theta$ là:

$$
   \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
   $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $30^\circ$.