giải phương trình sau :

a) ĐKXĐ: \( x \in \mathbb{R} \) Ta có: \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = 0 \] \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{5\pi}{6}) = 0 \] \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{5\pi}{6}) = 0 \] \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) \] \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ 3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \frac{9\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{k2\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] b) ĐKXĐ: \( x \in \mathbb{R} \) Ta có: \[ \cos(3x + \frac{5\pi}{6}) + \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = 0 \] \[ \cos(3x + \frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 0 \] \[ \cos(3x + \frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 0 \] \[ \cos(3x + \frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{5\pi}{3}) \] \[ \cos(3x + \frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ 3x + \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + k2\pi \] \[ 3x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{k2\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] c) ĐKXĐ: \( x \in \mathbb{R} \) Ta có: \[ \sin(2x - \frac{2\pi}{3}) + \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 \] \[ \sin(2x - \frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = 0 \] \[ \sin(2x - \frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = 0 \] \[ \sin(2x - \frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{5\pi}{4}) \] \[ \sin(2x - \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ 2x - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{25\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k2\pi}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{25\pi}{24} + \frac{k2\pi}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k2\pi}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{25\pi}{24} + \frac{k2\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] d) ĐKXĐ: \( x \neq \frac{\pi}{6} + k\pi \) Ta có: \[ \tan(3x) + \cot(\pi - \frac{\pi}{4}) = 0 \] \[ \tan(3x) + \cot(\frac{3\pi}{4}) = 0 \] \[ \tan(3x) + \cot(\frac{3\pi}{4}) = 0 \] \[ \tan(3x) = -\cot(\frac{3\pi}{4}) \] \[ \tan(3x) = -(-1) \] \[ \tan(3x) = 1 \] Do đó: \[ 3x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 4: Câu a) $\sin7x - \sin3x = \cos5x$ Sử dụng công thức biến đổi: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Áp dụng vào phương trình: \[ \sin7x - \sin3x = 2 \cos \left(\frac{7x+3x}{2}\right) \sin \left(\frac{7x-3x}{2}\right) = 2 \cos(5x) \sin(2x) \] Phương trình trở thành: \[ 2 \cos(5x) \sin(2x) = \cos(5x) \] Chuyển vế: \[ 2 \cos(5x) \sin(2x) - \cos(5x) = 0 \] Nhóm lại: \[ \cos(5x) (2 \sin(2x) - 1) = 0 \] Có hai trường hợp: 1. $\cos(5x) = 0$ \[ 5x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} \] Các nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$: \[ x = -\frac{9\pi}{10}, -\frac{7\pi}{10}, -\frac{5\pi}{10}, -\frac{3\pi}{10}, -\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{5\pi}{10}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10} \] 2. $2 \sin(2x) - 1 = 0$ \[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] Các nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$: \[ x = -\frac{11\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12} \] Tổng các nghiệm: \[ -\frac{9\pi}{10} - \frac{7\pi}{10} - \frac{5\pi}{10} - \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} - \frac{11\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = 0 \] Câu b) $\cos^2 \pi - \sin^2 \pi + \sin 3\pi = 0$ Biến đổi: \[ \cos^2 \pi - \sin^2 \pi + \sin 3\pi = 0 \] \[ \cos^2 \pi - \sin^2 \pi = \cos 2\pi \] \[ \cos 2\pi + \sin 3\pi = 0 \] \[ 1 + 0 = 0 \] Phương trình vô nghiệm. Câu c) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$ Sử dụng công thức cộng: \[ \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0 \] \[ \cos x + \cos 2x = -\cos 3x \] \[ 2 \cos \left(\frac{x+2x}{2}\right) \cos \left(\frac{x-2x}{2}\right) = -\cos 3x \] \[ 2 \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(-\frac{x}{2}\right) = -\cos 3x \] \[ 2 \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = -\cos 3x \] \[ 2 \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) + \cos 3x = 0 \] \[ \cos 3x (2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) + 1) = 0 \] Có hai trường hợp: 1. $\cos 3x = 0$ \[ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \] Các nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$: \[ x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \] 2. $2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) + 1 = 0$ \[ \cos \left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{x}{2} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{8\pi}{3} + 4k\pi \] Các nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$: \[ x = -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \] Tổng các nghiệm: \[ -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 0 \] Câu d) $(2 \sin \pi - \cos \pi)(1 + \cos \pi) = \sin^2 \pi$ Biến đổi: \[ (2 \sin \pi - \cos \pi)(1 + \cos \pi) = \sin^2 \pi \] \[ (0 - (-1))(1 + (-1)) = 0 \] \[ 1 \cdot 0 = 0 \] Phương trình vô nghiệm. Câu 5: a) Điều kiện để phương trình \( \cos \pi = m + 2 \) có nghiệm là: \[ -1 \leq m + 2 \leq 1 \] \[ -3 \leq m \leq -1 \] b) Ta có phương trình \( m \cos 2\pi - 1 = 2m + \cos 2\pi \). Vì \( \cos 2\pi = 1 \), ta có: \[ m - 1 = 2m + 1 \] \[ -1 - 1 = 2m - m \] \[ -2 = m \] Vậy \( m = -2 \). c) Để phương trình \( \tan x = 3m - 2 \) có nghiệm thuộc \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right] \), ta cần: \[ -\infty < 3m - 2 \leq \sqrt{3} \] \[ -\infty < 3m \leq \sqrt{3} + 2 \] \[ -\infty < m \leq \frac{\sqrt{3} + 2}{3} \] d) Ta có phương trình \( (2m - 1) \sin x = 2 \). Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), ta có: \[ -1 \leq \frac{2}{2m - 1} \leq 1 \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.