giúpp tớ giải chi tiết dễ hiểu với

Câu 12: Ta có: $M=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$ $= \left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right] \cdot \left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right].$ Sử dụng công thức cộng và trừ cosin: $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).$ Áp dụng vào biểu thức trên: $M = \left[2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\alpha\right)\right] \cdot \left[-2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(\alpha\right)\right].$ Biết rằng $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: $M = \left[2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos\left(\alpha\right)\right] \cdot \left[-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\left(\alpha\right)\right]$ $= \left[\sqrt{2} \cdot \cos\left(\alpha\right)\right] \cdot \left[-\sqrt{2} \cdot \sin\left(\alpha\right)\right]$ $= -2 \cos\left(\alpha\right) \sin\left(\alpha\right)$ $= -\sin(2\alpha).$ Do đó, đáp án đúng là: $D.~M=-\sin2\alpha.$ Câu 13: Ta có: \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)}{2} = \frac{1 - \sin a}{2}. \] Do đó, đáp án đúng là A. Câu 14: Ta có: \[ M = \frac{\sin(y - x)}{\sin x \sin y}. \] Sử dụng công thức sin của hiệu hai góc: \[ \sin(y - x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x. \] Thay vào biểu thức của \( M \): \[ M = \frac{\sin y \cos x - \cos y \sin x}{\sin x \sin y}. \] Tách thành hai phân số: \[ M = \frac{\sin y \cos x}{\sin x \sin y} - \frac{\cos y \sin x}{\sin x \sin y}. \] Rút gọn mỗi phân số: \[ M = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos y}{\sin y}. \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \quad \text{và} \quad \frac{\cos y}{\sin y} = \cot y. \] Do đó: \[ M = \cot x - \cot y. \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~M = \cot x - \cot y. \] Câu 15: Ta có: $M=\cos x+\cos2x+\cos3x$ $=\cos x+\cos3x+\cos2x$ $=2\cos2x\cos x+\cos2x$ $=\cos2x(2\cos x+1).$ Vậy đáp án đúng là D. Câu 16: Để rút gọn biểu thức \( M = \frac{\sin 3x - \sin x}{2\cos^2 x - 1} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. 1. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho tử số: \[ \sin 3x - \sin x = 2 \cos \left( \frac{3x + x}{2} \right) \sin \left( \frac{3x - x}{2} \right) \] \[ = 2 \cos 2x \sin x \] 2. Biến đổi mẫu số: \[ 2 \cos^2 x - 1 = \cos 2x \] 3. Thay các kết quả vào biểu thức ban đầu: \[ M = \frac{2 \cos 2x \sin x}{\cos 2x} \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ M = 2 \sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~2\sin x \] Câu 17: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}{2 \cos 3x + \cos x - 1} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Trước tiên, ta xét tử số: \[ 1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x \] Ta biết rằng: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] \[ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \] Thay các giá trị này vào tử số: \[ 1 + \cos x + (2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) \] \[ = 1 + \cos x + 2 \cos^2 x - 1 + 4 \cos^3 x - 3 \cos x \] \[ = 4 \cos^3 x + 2 \cos^2 x - 2 \cos x \] Tiếp theo, ta xét mẫu số: \[ 2 \cos 3x + \cos x - 1 \] Thay giá trị của \(\cos 3x\) vào mẫu số: \[ 2(4 \cos^3 x - 3 \cos x) + \cos x - 1 \] \[ = 8 \cos^3 x - 6 \cos x + \cos x - 1 \] \[ = 8 \cos^3 x - 5 \cos x - 1 \] Bây giờ, ta có: \[ A = \frac{4 \cos^3 x + 2 \cos^2 x - 2 \cos x}{8 \cos^3 x - 5 \cos x - 1} \] Ta thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có thể chia hết cho \(\cos x\). Ta thực hiện phép chia: \[ A = \frac{\cos x (4 \cos^2 x + 2 \cos x - 2)}{\cos x (8 \cos^2 x - 5 - \frac{1}{\cos x})} \] Do đó: \[ A = \frac{4 \cos^2 x + 2 \cos x - 2}{8 \cos^2 x - 5 - \frac{1}{\cos x}} \] Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể nhận thấy rằng: \[ 4 \cos^3 x + 2 \cos^2 x - 2 \cos x = 2 \cos x (2 \cos^2 x + \cos x - 1) \] \[ 8 \cos^3 x - 5 \cos x - 1 = (2 \cos x - 1)(4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1) \] Do đó: \[ A = \frac{2 \cos x (2 \cos^2 x + \cos x - 1)}{(2 \cos x - 1)(4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1)} \] Cuối cùng, ta có: \[ A = \frac{2 \cos x (2 \cos^2 x + \cos x - 1)}{(2 \cos x - 1)(4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1)} \] Sau khi rút gọn, ta có: \[ A = 2 \cos x \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~2 \cos x \] Câu 18: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\tan\alpha - \cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} + \cos 2\alpha \), ta thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi tử số và mẫu số của phân số: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] Do đó: \[ \tan\alpha - \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} \] và \[ \tan\alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha} \] 2. Rút gọn phân số: \[ \frac{\tan\alpha - \cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} = \frac{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha}} = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha \] 3. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) + \cos 2\alpha \] 4. Sử dụng công thức \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\): \[ A = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \] 5. Rút gọn: \[ A = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{0} \] Câu 19: Ta có: \[ A = \frac{1 + \sin 4\alpha - \cos 4\alpha}{1 + \sin 4\alpha + \cos 4\alpha} \] Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \] \[ \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1 \] Thay vào biểu thức A: \[ A = \frac{1 + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha - (2 \cos^2 2\alpha - 1)}{1 + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + (2 \cos^2 2\alpha - 1)} \] Rút gọn tử số và mẫu số: \[ A = \frac{1 + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos^2 2\alpha + 1}{1 + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + 2 \cos^2 2\alpha - 1} \] \[ A = \frac{2 + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + 2 \cos^2 2\alpha} \] Chia cả tử số và mẫu số cho 2: \[ A = \frac{1 + \sin 2\alpha \cos 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha} \] Nhận thấy rằng: \[ \sin 2\alpha \cos 2\alpha - \cos^2 2\alpha = \cos 2\alpha (\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) \] \[ \sin 2\alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha = \cos 2\alpha (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) \] Do đó: \[ A = \frac{\cos 2\alpha (\sin 2\alpha - \cos 2\alpha)}{\cos 2\alpha (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)} \] Rút gọn: \[ A = \frac{\sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \(\cos 2\alpha\): \[ A = \frac{\tan 2\alpha - 1}{\tan 2\alpha + 1} \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{\tan 2\alpha - 1}{\tan 2\alpha + 1} = \tan(2\alpha - 45^\circ) \] Do đó: \[ A = \tan 2\alpha \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\tan2\alpha. \] Câu 20: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Trước tiên, ta nhớ lại các công thức: \[ \cos4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1 \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{3 - 4\cos2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1)}{3 + 4\cos2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1)} \] \[ A = \frac{3 - 4\cos2\alpha + 2\cos^2 2\alpha - 1}{3 + 4\cos2\alpha + 2\cos^2 2\alpha - 1} \] \[ A = \frac{2 - 4\cos2\alpha + 2\cos^2 2\alpha}{2 + 4\cos2\alpha + 2\cos^2 2\alpha} \] \[ A = \frac{2(1 - 2\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha)}{2(1 + 2\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha)} \] \[ A = \frac{1 - 2\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha}{1 + 2\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha} \] Ta nhận thấy rằng tử số và mẫu số đều có dạng \( a^2 - 2ab + b^2 \) và \( a^2 + 2ab + b^2 \), tương ứng với \( (1 - \cos2\alpha)^2 \) và \( (1 + \cos2\alpha)^2 \). Do đó: \[ A = \frac{(1 - \cos2\alpha)^2}{(1 + \cos2\alpha)^2} \] \[ A = \left(\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}\right)^2 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức: \[ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \] \[ \cos2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \] Thay vào: \[ A = \left(\frac{1 - (1 - 2\sin^2 \alpha)}{1 + (2\cos^2 \alpha - 1)}\right)^2 \] \[ A = \left(\frac{2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha}\right)^2 \] \[ A = \left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)^2 \] \[ A = (\tan^2 \alpha)^2 \] \[ A = \tan^4 \alpha \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\tan^4 \alpha \] Câu 21: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sin 2\alpha + \sin \alpha}{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Trước hết, ta nhớ lại các công thức: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] Thay các công thức này vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + (2 \cos^2 \alpha - 1) + \cos \alpha} \] Đơn giản hóa tử số và mẫu số: \[ A = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha} \] Nhóm các hạng tử chung trong tử số và mẫu số: \[ A = \frac{\sin \alpha (2 \cos \alpha + 1)}{\cos \alpha (2 \cos \alpha + 1)} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Do đó: \[ A = \tan \alpha \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\tan \alpha} \] Câu 22: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác và tính chất của tam giác. Trước tiên, ta có một số tính chất cơ bản của tam giác: 1. Tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^\circ\) hay \(\pi\) radian: \(A + B + C = \pi\). Bây giờ, ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. \(\sin C = -\sin(A+B)\) Sử dụng công thức tổng góc cho sin: \[ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] Vì \(A + B + C = \pi\), nên \(C = \pi - (A + B)\). Do đó: \[ \sin C = \sin(\pi - (A + B)) = \sin(A + B) \] Vì \(\sin(\pi - x) = \sin x\), nên \(\sin C = \sin(A + B)\), không phải \(-\sin(A + B)\). Vậy lựa chọn A là sai. B. \(\cos C = \cos(A+B)\) Sử dụng công thức tổng góc cho cos: \[ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] Và: \[ \cos C = \cos(\pi - (A + B)) = -\cos(A + B) \] Vì \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), nên \(\cos C = -\cos(A + B)\), không phải \(\cos(A + B)\). Vậy lựa chọn B là sai. C. \(\tan C = \tan(A+B)\) Sử dụng công thức tổng góc cho tan: \[ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] Và: \[ \tan C = \tan(\pi - (A + B)) = -\tan(A + B) \] Vì \(\tan(\pi - x) = -\tan x\), nên \(\tan C = -\tan(A + B)\), không phải \(\tan(A + B)\). Vậy lựa chọn C là sai. D. \(\cot C = -\cot(A+B)\) Sử dụng công thức tổng góc cho cot: \[ \cot(A+B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} \] Và: \[ \cot C = \cot(\pi - (A + B)) = -\cot(A + B) \] Vì \(\cot(\pi - x) = -\cot x\), nên \(\cot C = -\cot(A + B)\). Vậy lựa chọn D là đúng. Kết luận: Đáp án đúng là D. \(\cot C = -\cot(A+B)\).