giúp tớ giải và trả lời với ạ

Câu 23: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng một số công thức lượng giác liên quan đến góc trong tam giác. Trong tam giác \(ABC\), ta có: \[ A + B + C = 180^\circ. \] Do đó: \[ \frac{A+B}{2} = \frac{180^\circ - C}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}. \] Bây giờ, ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. \(\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos\frac{C}{2}\) Sử dụng công thức \(\cos(90^\circ - x) = \sin x\), ta có: \[ \cos\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \sin\frac{C}{2}. \] Vậy \(\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin\frac{C}{2}\), không bằng \(\cos\frac{C}{2}\). B. \(\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = -\cos\frac{C}{2}\) Tương tự như trên, ta có: \[ \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin\frac{C}{2}, \] không bằng \(-\cos\frac{C}{2}\). C. \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot\frac{C}{2}\) Sử dụng công thức \(\tan(90^\circ - x) = \cot x\), ta có: \[ \tan\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \cot\frac{C}{2}. \] Vậy \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot\frac{C}{2}\), điều này đúng. D. \(\cot\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos\frac{C}{2}\) Sử dụng công thức \(\cot(90^\circ - x) = \tan x\), ta có: \[ \cot\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \tan\frac{C}{2}, \] không bằng \(\cos\frac{C}{2}\). Vậy đáp án đúng là C. \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot\frac{C}{2}\). Câu 1: Để tìm góc nhọn \(\alpha = \widehat{BAC}\), ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\). Bước 1: Tính độ dài các cạnh \(AB\) và \(AC\) - Tính \(AB\): Tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\), ta áp dụng định lý Pythagore: \[ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \] - Tính \(AC\): Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\), ta áp dụng định lý Pythagore: \[ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] Bước 2: Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\) Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) là: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha) \] Trong đó \(BC = BD - CD = 15 - 9 = 6\). Thay các giá trị đã biết vào: \[ 6^2 = (\sqrt{369})^2 + 15^2 - 2 \cdot \sqrt{369} \cdot 15 \cdot \cos(\alpha) \] \[ 36 = 369 + 225 - 2 \cdot \sqrt{369} \cdot 15 \cdot \cos(\alpha) \] \[ 36 = 594 - 30\sqrt{369} \cdot \cos(\alpha) \] \[ 30\sqrt{369} \cdot \cos(\alpha) = 594 - 36 \] \[ 30\sqrt{369} \cdot \cos(\alpha) = 558 \] \[ \cos(\alpha) = \frac{558}{30\sqrt{369}} \] Bước 3: Tính góc \(\alpha\) Sử dụng máy tính để tìm \(\alpha\): \[ \alpha \approx \cos^{-1}\left(\frac{558}{30\sqrt{369}}\right) \] Tính giá trị gần đúng: \[ \alpha \approx 33.7^\circ \] Vậy góc nhọn \(\alpha = \widehat{BAC}\) xấp xỉ \(33.7^\circ\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc $\alpha$ giữa phương nằm ngang và đường thẳng nối từ điểm quan sát A đến đỉnh B của cột ăngten. Bước 1: Xác định các độ cao - Chiều cao của tòa nhà là 18,9 m. - Chiều cao của cột ăngten là 5 m. - Vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất. Bước 2: Tính độ cao từ điểm A đến đỉnh B Độ cao từ mặt đất đến đỉnh B là: \[ 18,9 + 5 = 23,9 \, \text{m} \] Độ cao từ điểm A đến đỉnh B là: \[ 23,9 - 7 = 16,9 \, \text{m} \] Bước 3: Xác định khoảng cách ngang giữa hai tòa nhà Khoảng cách ngang giữa hai tòa nhà là 10 m. Bước 4: Sử dụng định nghĩa của tang để tính góc $\alpha$ Ta có tam giác vuông ABD với: - AB là cạnh đối diện góc $\alpha$. - AD là cạnh kề góc $\alpha$. Sử dụng định nghĩa của tang: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Độ cao từ A đến B}}{\text{Khoảng cách ngang AD}} = \frac{16,9}{10} \] Bước 5: Tính góc $\alpha$ Sử dụng máy tính để tìm $\alpha$: \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{16,9}{10}\right) \] Tính toán: \[ \alpha \approx \tan^{-1}(1,69) \approx 59^\circ \] Vậy, góc $\alpha$ xấp xỉ 59 độ. Câu 3: Để tìm dao động tổng hợp \( x(t) = x_1(t) + x_2(t) \), ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Các phương trình dao động đã cho: \[ x_1(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right) \] \[ x_2(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{4}\right) \] Ta có: \[ x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right) + 3 \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{4}\right) \] Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ A = \frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6} \] \[ B = \frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{4} \] Ta có: \[ \frac{A+B}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right) + \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6} t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}}{2} \] \[ \frac{A-B}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right) - \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{12}}{2} = -\frac{\pi}{24} \] Do đó: \[ x(t) = 3 \cdot 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{24}\right) \] \[ x(t) = 6 \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \] Biên độ \( A \) của dao động tổng hợp là: \[ A = 6 \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \] Pha ban đầu \( \varphi \) của dao động tổng hợp là: \[ \varphi = \frac{\pi}{12} \] Vậy, dao động tổng hợp có biên độ \( A = 6 \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \) và pha ban đầu \( \varphi = \frac{\pi}{12} \). Đáp số: Biên độ \( A = 6 \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \) và pha ban đầu \( \varphi = \frac{\pi}{12} \).