Trả lời chi tiết giải chính xác

Câu 2: a) Tập xác định của hàm số là R: Hàm số \( y = \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + \sin(2x - \frac{\pi}{2}) \) là tổng của hai hàm lượng giác, trong đó cả hai hàm đều xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). b) Rút gọn hàm số trở thành \( y = \sin 2x \): Ta sẽ sử dụng công thức cộng góc để rút gọn hàm số: \[ \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \cos 2x \cos \frac{\pi}{4} - \sin 2x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 2x - \sin 2x) \] \[ \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = -\cos 2x \] Thay vào hàm số ban đầu: \[ y = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 2x - \sin 2x) - \cos 2x \] \[ y = (\cos 2x - \sin 2x) - \cos 2x \] \[ y = -\sin 2x \] c) Hàm số tuần hoàn với chu kì \( T = \pi \): Hàm số \( y = -\sin 2x \) là hàm số lượng giác cơ bản, có chu kì \( T = \pi \) vì chu kì của \( \sin 2x \) là \( \pi \). d) Nếu \( \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3} \) thì giá trị biểu thức \( P = \frac{2 \tan 2x + \cot 2x}{4 \tan 2x - 3 \cot 2x} \) là \( \frac{5}{14} \): Ta đã biết rằng \( y = -\sin 2x \), do đó: \[ -\sin 2x = -\frac{1}{3} \] \[ \sin 2x = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ \tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{8}{9}}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ \cot 2x = \frac{1}{\tan 2x} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{2}}{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 3 \cdot 2\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 6\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}}{-5\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{\frac{\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}}{-5\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{-5\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{-5\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{5}{-10} \] \[ P = -\frac{1}{2} \] Tuy nhiên, có vẻ như có lỗi trong quá trình tính toán. Chúng ta cần kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo kết quả chính xác.