giải bằng căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 4: 1) \( A = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \) Ta có: \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1 \] \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 2 - \sqrt{5} \] Do đó: \[ A = (\sqrt{5} - 1) + (2 - \sqrt{5}) = 1 \] 2) \( A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \) Ta có: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1 \] \[ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1 \] Do đó: \[ A = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} \] 3) \( A = \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{6}} \) Ta có: \[ \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2} = \sqrt{6} - 1 \] \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2} = \sqrt{6} + 1 \] Do đó: \[ A = (\sqrt{6} - 1) - (\sqrt{6} + 1) = -2 \] 4) \( A = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \) Ta có: \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] \[ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1 \] Do đó: \[ A = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \] 5) \( A = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} \) Ta có: \[ \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2} \] \[ \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2} \] Do đó: \[ A = (3 + \sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \] 6) \( A = \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} \) Ta có: \[ \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = \sqrt{7} - 1 \] \[ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1 \] Do đó: \[ A = (\sqrt{7} - 1) - (\sqrt{7} + 1) = -2 \] 7) \( A = \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{18 - 8\sqrt{2}} \) Ta có: \[ \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{(4 + \sqrt{2})^2} = 4 + \sqrt{2} \] \[ \sqrt{18 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{(4 - \sqrt{2})^2} = 4 - \sqrt{2} \] Do đó: \[ A = (4 + \sqrt{2}) + (4 - \sqrt{2}) = 8 \] 8) \( A = \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}} \) Ta có: \[ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = 5 + \sqrt{3} \] \[ \sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = 4 - \sqrt{3} \] Do đó: \[ A = (5 + \sqrt{3}) + (4 - \sqrt{3}) = 9 \] Bài 5: 1) \( B = 2\sqrt{2} + \sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} \) Ta có: \[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Do đó: \[ \sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} = |\sqrt{8} - 3| = |2\sqrt{2} - 3| \] Vì \( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \) và \( 2.828 < 3 \), nên: \[ |2\sqrt{2} - 3| = 3 - 2\sqrt{2} \] Vậy: \[ B = 2\sqrt{2} + (3 - 2\sqrt{2}) = 3 \] 2) \( B = \sqrt{(\sqrt{7} - 4)^2} + \sqrt{7} \) Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{7} - 4)^2} = |\sqrt{7} - 4| \] Vì \( \sqrt{7} \approx 2.645 \) và \( 2.645 < 4 \), nên: \[ |\sqrt{7} - 4| = 4 - \sqrt{7} \] Vậy: \[ B = (4 - \sqrt{7}) + \sqrt{7} = 4 \] 3) \( B = \sqrt{(\sqrt{3} - 3)^2} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \) Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{3} - 3)^2} = |\sqrt{3} - 3| \] Vì \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) và \( 1.732 < 3 \), nên: \[ |\sqrt{3} - 3| = 3 - \sqrt{3} \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Ta có: \[ 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| \] Vì \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) và \( 1.732 > 1 \), nên: \[ |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \] Vậy: \[ B = (3 - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1) = 2 \] 4) \( B = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + \sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2} \) Ta có: \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2} = |\sqrt{2} - 2| \] Vì \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) và \( 1.414 < 2 \), nên: \[ |\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2} \] Vậy: \[ B = (\sqrt{2} + 1) + (2 - \sqrt{2}) = 3 \] 5) \( B = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \) Ta có: \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1 \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2 + \sqrt{5} \] Vậy: \[ B = (\sqrt{5} - 1) + (2 + \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} + 1 \] 6) \( B = \sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} - \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} \) Ta có: \[ \sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} = |4 - 3\sqrt{2}| \] Vì \( 4 - 3\sqrt{2} \approx 4 - 4.242 = -0.242 \), nên: \[ |4 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 4 \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2} \] Vậy: \[ B = (3\sqrt{2} - 4) - (3 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 7 \] 7) \( B = (1 - \sqrt{3})^2 - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 3\sqrt{3} \) Ta có: \[ (1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1 \] Vậy: \[ B = (4 - 2\sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1) + 3\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 + 3\sqrt{3} = 5 \] 8) \( B = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} \) Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2| \] Vì \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) và \( 1.732 < 2 \), nên: \[ |\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3} \] Tiếp theo, ta xét: \[ \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = 4 + \sqrt{3} \] Vậy: \[ B = (2 - \sqrt{3}) + (4 + \sqrt{3}) = 6 \] Bài 6: 1) Ta có: \[ C = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}} \] \[ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}} \] \[ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 2(1 - \sqrt{3})} \] \[ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 2 + 2\sqrt{3}} \] \[ = \sqrt{3} \] 2) Ta có: \[ C = \sqrt{\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{18 - 8\sqrt{2}}} \] \[ = \sqrt{\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{(4 - \sqrt{2})^2}} \] \[ = \sqrt{\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4 - \sqrt{2}} \] \[ = \sqrt{2\sqrt{3} + 4} \] \[ = \sqrt{2(\sqrt{3} + 2)} \] \[ = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 2} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 1: Căn bậc hai số học của 121 là số dương mà bình phương của nó bằng 121. Ta có: \[ 11^2 = 121 \] Do đó, căn bậc hai số học của 121 là 11. Vậy đáp án đúng là: B. 11. Câu 2: Câu hỏi: Số nào có căn bậc hai là 9? A. -3. B. 3. C. -81. D. 81. Lời giải: Căn bậc hai của một số là số mà khi bình phương lên sẽ bằng số ban đầu. Ta kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: Căn bậc hai của -3 không tồn tại trong tập số thực. - Đáp án B: Căn bậc hai của 3 không phải là 9. - Đáp án C: Căn bậc hai của -81 không tồn tại trong tập số thực. - Đáp án D: Căn bậc hai của 81 là 9. Vậy số có căn bậc hai là 9 là 81. Đáp án đúng là: D. 81. Câu 3: Để tìm cách viết sai trong các cách viết sau, chúng ta cần hiểu rằng căn bậc hai của một số luôn cho kết quả là số không âm. A. $\sqrt{(-6)^2} = 6$ - Đúng, vì $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$. B. $\sqrt{6^2} = 6$ - Đúng, vì $\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6$. C. $\sqrt{(-6)^2} = -6$ - Sai, vì $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$, không thể bằng -6. D. $-\sqrt{(-6)^2} = -6$ - Đúng, vì $-\sqrt{(-6)^2} = -\sqrt{36} = -6$. Vậy cách viết sai là: C. $\sqrt{(-6)^2} = -6$