Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm: $\frac{x+1}{x-m+1}=\frac{x}{x+m+2}$.

Điều kiện xác định: \( x \neq m-1; x \neq -m-2 \) Phương trình đã cho tương đương với: \( (x+1)(x+m+2) = x(x-m+1) \) \( \Leftrightarrow x^{2}+(m+3)x+m+2=x^{2}+(1-m)x \) \( \Leftrightarrow 2mx+m+2=0 \quad (1) \) Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc phương trình (1) có nghiệm nhưng nghiệm đó lại là nghiệm ngoại lai. Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi \( 2m = 0 \) và \( m+2 \neq 0 \) \( \Leftrightarrow m = 0 \) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \( 2m \neq 0 \) \( \Leftrightarrow m \neq 0 \) Khi đó nghiệm của phương trình (1) là \( x = \frac{-m-2}{2m} \) Nghiệm này là nghiệm ngoại lai khi và chỉ khi: \( \frac{-m-2}{2m} = m-1 \) hoặc \( \frac{-m-2}{2m} = -m-2 \) \( \Leftrightarrow -m-2 = 2m(m-1) \) hoặc \( -m-2 = 2m(-m-2) \) \( \Leftrightarrow 2m^{2}-m+2=0 \) hoặc \( 2m^{2}+3m+2=0 \) \( \Leftrightarrow m = 1 \) hoặc \( m = -1 \) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \( m = 0 \) hoặc \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \).