chỉ mình với

Câu 11: Để giải phương trình \(2\cos3x + \sqrt{3} = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển vế để tách \(\cos3x\) ra. \[2\cos3x + \sqrt{3} = 0\] \[2\cos3x = -\sqrt{3}\] \[\cos3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\] Bước 2: Xác định các giá trị của \(3x\) sao cho \(\cos3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Biết rằng \(\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại các góc \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) và \(\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\] hoặc \[3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\] Bước 3: Giải các phương trình trên để tìm \(x\). \[3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\] \[x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\] hoặc \[3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\] \[x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\] hoặc \[x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\] với \(k\) là số nguyên. Câu 12: Để giải phương trình \(\sin 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Viết các nghiệm tổng quát của phương trình. 3. Tìm các nghiệm trong khoảng \([0, 2\pi)\). Bước 1: Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ta biết rằng: \[ \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] và \[ \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Viết các nghiệm tổng quát của phương trình. Do tính chất tuần hoàn của hàm sin, ta có: \[ 5x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 5x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 3: Tìm các nghiệm trong khoảng \([0, 2\pi)\). Chia cả hai vế cho 5 để tìm \(x\): \[ x = \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \] \[ x = \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{5} \] Bây giờ, ta sẽ tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \([0, 2\pi)\). - Với \(x = \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\): \[ 0 \leq \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} < 2\pi \] \[ -\frac{4\pi}{15} \leq \frac{2k\pi}{5} < 2\pi - \frac{4\pi}{15} \] \[ -\frac{4}{15} \leq \frac{2k}{5} < 2 - \frac{4}{15} \] \[ -\frac{4}{15} \leq \frac{2k}{5} < \frac{26}{15} \] \[ -\frac{2}{3} \leq k < \frac{13}{3} \] Các giá trị nguyên của \(k\) là \(k = 0, 1, 2, 3, 4\). - Với \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{5}\): \[ 0 \leq \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{5} < 2\pi \] \[ -\frac{\pi}{3} \leq \frac{2k\pi}{5} < 2\pi - \frac{\pi}{3} \] \[ -\frac{1}{3} \leq \frac{2k}{5} < 2 - \frac{1}{3} \] \[ -\frac{1}{3} \leq \frac{2k}{5} < \frac{5}{3} \] \[ -\frac{5}{6} \leq k < \frac{25}{6} \] Các giá trị nguyên của \(k\) là \(k = 0, 1, 2, 3, 4\). Vậy các nghiệm của phương trình trong khoảng \([0, 2\pi)\) là: \[ x = \frac{4\pi}{15}, \frac{14\pi}{15}, \frac{24\pi}{15}, \frac{34\pi}{15}, \frac{44\pi}{15}, \frac{\pi}{3}, \frac{11\pi}{15}, \frac{21\pi}{15}, \frac{31\pi}{15}, \frac{41\pi}{15} \] Đáp số: \(x = \frac{4\pi}{15}, \frac{14\pi}{15}, \frac{24\pi}{15}, \frac{34\pi}{15}, \frac{44\pi}{15}, \frac{\pi}{3}, \frac{11\pi}{15}, \frac{21\pi}{15}, \frac{31\pi}{15}, \frac{41\pi}{15}\). Câu 13: Để giải phương trình \(\sin 9x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Viết nghiệm tổng quát của phương trình. Bước 1: Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ta biết rằng: \[ \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] và \[ \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] Do đó, các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) trong khoảng \([0, 2\pi)\) là: \[ \frac{4\pi}{3} \quad \text{và} \quad \frac{5\pi}{3}. \] Bước 2: Viết nghiệm tổng quát của phương trình. Phương trình \(\sin 9x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) có nghiệm tổng quát là: \[ 9x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 9x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \] trong đó \(k\) là số nguyên. Chia cả hai vế cho 9 để tìm \(x\): \[ x = \frac{4\pi}{27} + \frac{2k\pi}{9} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{27} + \frac{2k\pi}{9}, \] trong đó \(k\) là số nguyên. Vậy nghiệm của phương trình \(\sin 9x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) là: \[ x = \frac{4\pi}{27} + \frac{2k\pi}{9} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{27} + \frac{2k\pi}{9}, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Câu 14: Để giải phương trình \(\tan(5x + \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\tan\) mà chúng ta biết: \[ \tan(5x + \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ta biết rằng \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \tan(\frac{\pi}{6})\). 2. Do đó, ta có: \[ 5x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] 3. Giải phương trình trên để tìm \(x\): \[ 5x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 5x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{5} + k\pi \] \[ 5x = \frac{5\pi - 6\pi}{30} + k\pi \] \[ 5x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{150} + \frac{k\pi}{5} \] 4. Kết luận nghiệm của phương trình: \[ x = -\frac{\pi}{150} + \frac{k\pi}{5} \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] Do đó, nghiệm của phương trình \(\tan(5x + \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) là: \[ \boxed{x = -\frac{\pi}{150} + \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}} \] Câu 15: Để giải phương trình \(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{3\pi}{4})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm cosinus, cụ thể là nếu \(\cos A = \cos B\) thì \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = -B + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: \[ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{3\pi}{4}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất của hàm cosinus: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{3\pi}{4}\right) + k2\pi \] Bước 3: Giải từng trường hợp: Trường hợp 1: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x - x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{9\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = -x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{9\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{13\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \] Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình: \[ x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \] với \(k\) là số nguyên. Đáp số: \[ x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \] Câu 16: Để giải phương trình \(\cos(6x + \frac{\pi}{4}) = \cos(3x + \frac{2\pi}{3})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm cosinus, cụ thể là nếu \(\cos A = \cos B\) thì \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = -B + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng hai trường hợp: \[6x + \frac{\pi}{4} = 3x + \frac{2\pi}{3} + k2\pi\] hoặc \[6x + \frac{\pi}{4} = -\left(3x + \frac{2\pi}{3}\right) + k2\pi\] Bước 2: Giải từng trường hợp. Trường hợp 1: \[6x + \frac{\pi}{4} = 3x + \frac{2\pi}{3} + k2\pi\] \[6x - 3x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + k2\pi\] \[3x = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + k2\pi\] \[3x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi\] \[x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\] Trường hợp 2: \[6x + \frac{\pi}{4} = -3x - \frac{2\pi}{3} + k2\pi\] \[6x + 3x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + k2\pi\] \[9x = -\frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + k2\pi\] \[9x = -\frac{11\pi}{12} + k2\pi\] \[x = -\frac{11\pi}{108} + \frac{k2\pi}{9}\] Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình: \[x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\] hoặc \(x = -\frac{11\pi}{108} + \frac{k2\pi}{9}\) với \(k\) là số nguyên. Đáp số: \(x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\) hoặc \(x = -\frac{11\pi}{108} + \frac{k2\pi}{9}\) với \(k\) là số nguyên. Câu 17: Để giải phương trình \(\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin(x - \frac{3\pi}{4})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số sin, cụ thể là nếu \(\sin A = \sin B\) thì \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = \pi - B + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: \[ \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin(x - \frac{3\pi}{4}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất của hàm số sin: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - (x - \frac{3\pi}{4}) + k2\pi \] Bước 3: Giải từng trường hợp: Trường hợp 1: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x - x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = -\frac{13\pi}{12} + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \pi + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{12\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{17\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{17\pi}{36} + k\frac{2\pi}{3} \] Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình: \[ x = -\frac{13\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{17\pi}{36} + k\frac{2\pi}{3} \] với \(k\) là số nguyên. Câu 18: Để giải phương trình \(\tan(6x - \frac{\pi}{2}) = \tan(3x + \frac{2\pi}{3})\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số \(\tan\) không xác định khi góc là \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. - Do đó, \(6x - \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) và \(3x + \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + m\pi\) với \(k, m\) là các số nguyên. - Điều này tương đương với \(6x \neq \pi + k\pi\) và \(3x \neq -\frac{\pi}{6} + m\pi\). - Hay \(x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{6}\) và \(x \neq -\frac{\pi}{18} + \frac{m\pi}{3}\). 2. Giải phương trình: - Ta biết rằng \(\tan A = \tan B\) nếu và chỉ nếu \(A = B + n\pi\) với \(n\) là số nguyên. - Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có: \[ 6x - \frac{\pi}{2} = 3x + \frac{2\pi}{3} + n\pi \] - Giải phương trình trên để tìm \(x\): \[ 6x - 3x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + n\pi \] \[ 3x = \frac{4\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} + n\pi \] \[ 3x = \frac{7\pi}{6} + n\pi \] \[ x = \frac{7\pi}{18} + \frac{n\pi}{3} \] 3. Kết luận: - Nghiệm của phương trình \(\tan(6x - \frac{\pi}{2}) = \tan(3x + \frac{2\pi}{3})\) là: \[ x = \frac{7\pi}{18} + \frac{n\pi}{3} \] - Với \(n\) là số nguyên. Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ \boxed{x = \frac{7\pi}{18} + \frac{n\pi}{3}} \] Câu 19: Để giải phương trình \(\cot(3x - \frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận diện giá trị cotangent: Ta biết rằng \(\cot(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) tương đương với \(\tan(\theta) = \sqrt{3}\). Do đó, \(\theta = \frac{\pi}{3} + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. 2. Thay giá trị vào phương trình: Ta có: \[ 3x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k\pi \] 3. Giải phương trình để tìm \(x\): \[ 3x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k\pi \] Chuyển \(\frac{3\pi}{4}\) sang vế phải: \[ 3x = \frac{\pi}{3} + k\pi + \frac{3\pi}{4} \] Quy đồng mẫu số: \[ 3x = \frac{4\pi}{12} + k\pi + \frac{9\pi}{12} \] \[ 3x = \frac{13\pi}{12} + k\pi \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} \] 4. Viết nghiệm tổng quát: Nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, nghiệm của phương trình \(\cot(3x - \frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) là: \[ \boxed{x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}} \] Câu 20: Để giải phương trình \(\sin(4x - \frac{\pi}{6}) = \sin(3x - \frac{3\pi}{4})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số sin, cụ thể là nếu \(\sin A = \sin B\) thì \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = \pi - B + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: \[ \sin(4x - \frac{\pi}{6}) = \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất của hàm số sin: \[ 4x - \frac{\pi}{6} = 3x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] hoặc \[ 4x - \frac{\pi}{6} = \pi - (3x - \frac{3\pi}{4}) + k2\pi \] Bước 3: Giải từng trường hợp: Trường hợp 1: \[ 4x - \frac{\pi}{6} = 3x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 4x - 3x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = -\frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = -\frac{7\pi}{12} + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 4x - \frac{\pi}{6} = \pi - 3x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 4x + 3x = \pi + \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 7x = \frac{12\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + k2\pi \] \[ 7x = \frac{23\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{23\pi}{84} + \frac{k2\pi}{7} \] Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình: \[ x = -\frac{7\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{23\pi}{84} + \frac{k2\pi}{7} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{7\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{23\pi}{84} + \frac{k2\pi}{7} \]