Câu $\rm 1.$

Câu 1: Câu a) Ta có: \[ \sin x = -\frac{1}{3} \] và \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \). Trước tiên, ta tính \( \cos x \). Vì \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \), nên \( \cos x \) âm. Ta sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay giá trị \( \sin x \): \[ \left( -\frac{1}{3} \right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2 x = \frac{8}{9} \] \[ \cos x = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Bây giờ, ta tính \( \sin 2x \): \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] \[ \sin 2x = 2 \left( -\frac{1}{3} \right) \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \] \[ \sin 2x = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{9} \] \[ \sin 2x = \frac{4\sqrt{2}}{9} \] Tiếp theo, ta tính \( P \): \[ P = \frac{\sin 2x}{3 \cos^2 x + 1} \] \[ P = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{3 \left( \frac{8}{9} \right) + 1} \] \[ P = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{24}{9} + 1} \] \[ P = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{24}{9} + \frac{9}{9}} \] \[ P = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{33}{9}} \] \[ P = \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{9}{33} \] \[ P = \frac{4\sqrt{2}}{33} \] Câu b) Ta có: \[ \cot x = 3 \] Ta biết rằng: \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] \[ \frac{\cos x}{\sin x} = 3 \] \[ \cos x = 3 \sin x \] Sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \sin^2 x + (3 \sin x)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + 9 \sin^2 x = 1 \] \[ 10 \sin^2 x = 1 \] \[ \sin^2 x = \frac{1}{10} \] \[ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \] Vì \( \cot x = 3 \) dương, nên \( \cos x \) và \( \sin x \) cùng dấu. Do đó, ta chọn: \[ \sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ \cos x = 3 \sin x = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Bây giờ, ta tính \( Q \): \[ Q = \frac{\cos x + 2 \sin x}{3 \cos x - \sin x} \] \[ Q = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}} \] \[ Q = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{10}}}{\frac{9}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}} \] \[ Q = \frac{\frac{5}{\sqrt{10}}}{\frac{8}{\sqrt{10}}} \] \[ Q = \frac{5}{8} \] Đáp số: a) \( P = \frac{4\sqrt{2}}{33} \) b) \( Q = \frac{5}{8} \)