Câu 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2), B(5; 6), C(3; 8).
a) Tính phương trình đường trung trực của đoạn AB.
b) Tìm tọa độ giao điểm D của hai đường trung trực AB và AC.
c) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

a) Tính phương trình đường trung trực của đoạn AB

1. Tìm trung điểm của đoạn AB:

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
   $$
   M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (3, 4)
   $$

2. Tính vector chỉ phương của AB:

Vector $\overrightarrow{AB} = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)$.

3. Tìm vector pháp tuyến của đường trung trực:

Vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của đường trung trực là $(-4, 4)$.

4. Phương trình đường trung trực:

Đường trung trực đi qua điểm M(3, 4) và có vector pháp tuyến $(-4, 4)$, nên phương trình là:
   $$
   -4(x - 3) + 4(y - 4) = 0
   $$
   Rút gọn, ta được:
   $$
   -4x + 4y = -4
   $$
   Hay:
   $$
   x - y = -1
   $$

b) Tìm tọa độ giao điểm D của hai đường trung trực AB và AC

1. Tính phương trình đường trung trực của đoạn AC:

- Trung điểm N của đoạn AC có tọa độ:
     $$
     N\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (2, 5)
     $$

- Vector $\overrightarrow{AC} = (3 - 1, 8 - 2) = (2, 6)$.

- Vector pháp tuyến của đường trung trực là $(-6, 2)$.

- Phương trình đường trung trực của AC:
     $$
     -6(x - 2) + 2(y - 5) = 0
     $$
     Rút gọn, ta được:
     $$
     -6x + 2y = -2
     $$
     Hay:
     $$
     3x - y = 1
     $$

2. Tìm giao điểm D của hai đường trung trực:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   x - y = -1 \
   3x - y = 1
   \end{cases}
   $$

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
   $$
   (3x - y) - (x - y) = 1 - (-1)
   $$
   $$
   2x = 2 \Rightarrow x = 1
   $$

Thay $x = 1$ vào phương trình $x - y = -1$:
   $$
   1 - y = -1 \Rightarrow y = 2
   $$

Vậy tọa độ điểm D là $(1, 2)$.

c) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Điểm D là giao điểm của hai đường trung trực của các đoạn thẳng AB và AC, do đó D cách đều ba điểm A, B, C. Điều này có nghĩa là D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vậy, D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2), B(5; 6), C(3; 8). a) Tính phương trình đường trung trực của đoạn AB. b) Tìm tọa độ giao điểm D của hai đường trung trực AB và AC. c) Chứng minh D là...