có n tấm đồng chất như nhau ,chiều dài 2L được xếp chồng lên nhau sao cho tấm trên nhô ra một phần so với tấm ở dưới. xác định chiều dài phấn nhô ra tối đa của mỗi tấm để hệ vẫn cân bằng

Bài toán: Có n tấm đồng chất như nhau, mỗi tấm có chiều dài 2L, được xếp chồng lên nhau sao cho tấm trên nhô ra một phần so với tấm ở dưới. Yêu cầu: xác định chiều dài phần nhô ra tối đa của mỗi tấm để hệ vẫn cân bằng. --- **Phân tích và giải:** Giả sử có n tấm, đánh số từ dưới lên trên: tấm 1 ở dưới cùng, tấm n ở trên cùng. - Chiều dài mỗi tấm: 2L. - Mỗi tấm được xếp sao cho nhô ra một phần so với tấm dưới nó. - Gọi x là chiều dài phần nhô ra tối đa của mỗi tấm so với tấm nằm dưới. Mục tiêu: Tìm x. --- **Lý thuyết cân bằng:** - Để hệ cân bằng, tổng trọng lực của các tấm phía trên phải nằm trong phần mặt phẳng tiếp xúc của tấm dưới. - Hay nói cách khác, vị trí trọng tâm của các tấm phía trên phải nằm trên tấm dưới để tránh hệ bị đổ. --- **Bước 1: Tính vị trí trọng tâm của hệ tấm xếp chồng** - Mỗi tấm có trọng lượng W (đồng chất và bằng nhau). - Đặt gốc tọa độ O ở đầu trái tấm dưới cùng (tấm 1). - Vị trí tâm của tấm 1: x₁ = L (giữa chiều dài 2L). - Tấm 2 nhô ra tấm 1 một đoạn x, nên vị trí tâm tấm 2: x₂ = x + L. - Tấm 3 nhô ra tấm 2 một đoạn x nữa, vị trí tâm tấm 3: x₃ = 2x + L. - Tương tự, vị trí tâm tấm k: x_k = (k-1)x + L. --- **Bước 2: Điều kiện cân bằng của hệ** - Tấm dưới cùng phải giữ được toàn bộ hệ phía trên (tấm 2 đến tấm n). - Trọng tâm của các tấm 2 đến n phải nằm trên phần tấm 1 còn chịu lực. - Chiều dài tấm 1 là 2L, nên khoảng từ 0 đến 2L. - Phần nhô ra tối đa là để tổng trọng tâm của các tấm phía trên nằm trong khoảng 0 đến 2L. --- **Bước 3: Tính trọng tâm các tấm 2 đến n** - Tổng trọng lượng của các tấm 2 đến n: W_{top} = (n-1)W. - Vị trí trọng tâm của các tấm 2 đến n là: \[ X_{top} = \frac{\sum_{k=2}^n W \cdot x_k}{(n-1)W} = \frac{\sum_{k=2}^n ((k-1)x + L)}{n-1} = \frac{\sum_{k=1}^{n-1} (k x + L)}{n-1} \] Tính tổng: \[ \sum_{k=1}^{n-1} (k x + L) = x \sum_{k=1}^{n-1} k + L (n-1) = x \frac{(n-1) n}{2} + L (n-1) \] Vậy: \[ X_{top} = \frac{x \frac{(n-1) n}{2} + L (n-1)}{n-1} = x \frac{n}{2} + L \] --- **Bước 4: Điều kiện để hệ cân bằng** - Trọng tâm của các tấm 2 đến n phải nằm trong phạm vi tấm 1, tức: \[ X_{top} \leq 2L \] Thay X_{top}: \[ x \frac{n}{2} + L \leq 2L \Rightarrow x \frac{n}{2} \leq L \Rightarrow x \leq \frac{2L}{n} \] --- **Kết luận:** Chiều dài phần nhô ra tối đa của mỗi tấm để hệ vẫn cân bằng là: \[ \boxed{x = \frac{2L}{n}} \] --- **Tóm tắt:** - Mỗi tấm nhô ra so với tấm dưới một đoạn x. - Tổng trọng tâm các tấm trên phải nằm trong phạm vi tấm dưới. - Điều này cho ta giới hạn x ≤ 2L/n. --- **Trả lời:** Chiều dài phần nhô ra tối đa của mỗi tấm đồng chất dài 2L khi xếp chồng lên nhau để hệ cân bằng là \(\displaystyle \frac{2L}{n}\).